0423

424

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

spełniona jest w przestrzeni trójwymiarowej tożsamość

y3=y\-yi yz+yl-

W obydwu przykładach funkcje są zależne.

Jeżeli ani w obszarze 2, ani w jakimkolwiek obszarze w nim zawartym nie zachodzi tożsamość postaci (18), to funkcje y_lty₂,    nazywamy funkcjami niezależnymi w ob

szarze 2.

Odpowiedź na pytanie, czy funkcje są zależne, czy nie, daje nam badanie tak zwanej macierzy Jacobiego, utworzonej z pochodnych cząstkowych tych funkcji względem wszystkich argumentów.

dy i	dy,	dy i
dxt	dx2	dxn
dy2	dy2	dy2
rbc,	dx2	dxn
dym	dym	dym
_dxt	dx2	dx„_

Zakładając, że n^m udowodnimy przede wszystkim następujące twierdzenie: Twierdzenie I. Jeżeli chociażby jeden z wyznaczników stopnia m utworzonych z elementów macierzy (19) jest różny od zera w obszarze 2, to w tym obszarze funkcje y₂, y₂, • • •, y_m są niezależne.

Dowód. Niech

dy i	dy i	dyl
dxl	dx2	dxm
! Cd iVs 3	dym	dym
dx,	dx2	dxm

(20)

Gdyby różny od zera był nie ten, lecz inny wyznacznik stopnia m, to zmienilibyśmy numerację zmiennych tak, aby otrzymać (20).

Dowód twierdzenia poprowadzimy nie wprost. Przypuśćmy, że jedna z funkcji, np. y_m, wyraża się przez pozostałe, a więc

(21)    y_m=<p(yi,y₂.....y_m-1) co najmniej w pewnym obszarze 2₀ zawartym w 2.

Różniczkując tę tożsamość względem każdej ze zmiennych x_t (i— 1,2, ..., ni) otrzymujemy układ tożsamości w 2₀:

(* = 1,2, ..., m).

j 8y_m dy_m__t

dx_t dy₂ dxi dy₂    dy„.i dx_t