0421

422

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Łatwo jest stąd obliczyć czynnik // i wraz z nim x, y, 2. Można też dodając stronami te równania pomnożone przedtem odpowiednio przez /, m, n otrzymać równanie

/V    m²b²    n²c²

aⁱ^?⁺b^r^?⁺?^?⁼⁰ ’

z którego od razu obliczamy interesujące nas dwie wartości ekstremalne r².

Ponieważ tutaj wiemy z góry, że istnieją te wartości ekstremalne, otrzymujemy pełne rozwiązanie zadania.

5) Na zakończenie poszukajmy najmniejszej i największej wartości formy kwadratowej

n

/C*1 ,*2, ...,*„)= Y a,_kx,x_t    (a,_k = a_kl)

l.kZ 1

przy warunku

(14)    q>(xi,x₂, ..., x*)=x\ +x₂+ x² = 1 (‘).

Tworzymy funkcję Lagrange’a

F(X₁,X₁, ...,*„)=/(X_t,X2, ...,X„)-A(A:?-i-A'2 + ...-i-A^).

Rugując *1, x₂,.... x„ z równań

1	9F
	• -— = (<*11^— X)xi +al2 x2 +..	.+Ui»a:.=0,
2	0x1
1	dF
	■ r~ = a2iXi+{a22—X)x2 + ..	.+U2.Jt„=0,
2	dx2

(15)

1 ~2 otrzymujemy równanie stopnia n	dF ~— — Oni Xi +a„2 X2 + . dXn względem X:
	On —X	«12	0 In
(16)	o21	a22—X	O 2.
	Oni	Oni	Onn~X

Jeżeli X jest jednym z jego pierwiastków, to układ równań liniowych (15) jest spełniony przez wartości Xi, x₂,x_n, które nie są wszystkie jednocześnie równe zeru. Mnożąc je przez odpowiedni czynnik możemy sprawić, aby spełniony był warunek (14). Jednak obliczanie tych wartości nie jest nam potrzebne, bo można wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji/bez rozwiązywania równań (15).

Istotnie, mnożąc równania (15) odpowiednio przez x_lt x₂, x„ i dodając stronami otrzymujemy równanie

f(x_k ,x₂, ..., x„)-X(xf+xl + ...+x²)=0 ,

i wobec warunku (14):

f(xi,x₂, ...,x,)=X .

A więc jeżeli X spełnia równanie (16), to wartość funkcji / w odpowiednim punkcie (x,, x₂,..., *„) jest równa tej wartości X.

Otrzymaliśmy elegancki wynik: najmniejsza i największa wartość funkcji / przy warunku (14) pokrywają się z najmniejszym i największym z pierwiastków rzeczywistych równania (16)(²).

(‘) Można tu zrobić uwagę analogiczną do uwagi w notce (^z) na str. 419. (²) Można wykazać, że wszystkie pierwiastki tego równania są rzeczywiste.