0387

388

V. Funkcje wielu zmiennych

Aby mieć pewność, że równania te określają jednoznacznie wartości x, y, z, trzeba stwierdzić, że wyznacznik układu jest różny od zera. Ale ze znanego twierdzenia algebry wiadomo, że kwadrat tego wyznacznika można napisać w postaci

[aa]	[ab]	[ac]	2	at	b,	Ci
[ba]	[bb]	[bc]	= Z	aj	bj	Cj
[ca]	[cb]	[cc]	U.J, *)	at	bk	C»

przy czym sumowanie rozciąga się na wszystkie możliwe kombinacje z n liczb 1,2,..., n po trzy. Zgodnie z założeniem, spośród wszystkich wyznaczników z prawej strony przynajmniej jeden jest różny od zera.

Trzeba jeszcze sprawdzić, że dla wartości zmiennych określonych równaniami normalnymi funkcja W rzeczywiście osiąga wartość najmniejszą. W tym celu wystarczy na przykład stwierdzić, że na zewnątrz sfery o dostatecznie dużym promieniu funkcja W przybiera dowolnie duże wartości.

Rozpatrzmy więc wartości pierwszych trzech nawiasów w wyrażeniu W:

a_lx + b₁y+c_lz—di = u_l,    a₂x+b₂y+c₂z—d₂—u₂,    a₃x+b₃y+c₃z-d₃ — u₃.

Wobec (14), wartości x, y, z wyrażają się przez u₂, u₂, u₃ jako kombinacje liniowe ze stałymi i w pełni określonymi współczynnikami. Zatem gdy te wielkości są ograniczone, to są też ograniczone same x, y, z. Stąd jest już widoczne, że gdy r²=x²+y² + z² rośnie do nieskończoności, rośnie także do nieskończoności ul+ul +«3, a więc i W.