10 (49)

200

9. Funkcje wielu zmiennych

Aby sformułować to pytanie precyzyjniej: Przy jakich założeniach o <p można wykazać równość

• i»ł    1    ■ S wa

(98)    ^ J^(ic*r)dx = j^(x,t)'dx.

(O tym, że jakieś założenia są potrzebne przekonuje zadanie 28.)

W dalszym ciągu będzie wygodne używać notacji

(99)    <f/(x) ra <p(x, ty Wtedy <p* jest dla każdego t funkcją jednej zmiennej.

9.42. Twierdzenie. Niech

a)    ip0c; i) będzie określona dla a ^ x < b, c < t ^ d;

b)    a będzie funkcją rosnącą na <a* b}',

c)    <f e &(a) dla 16 <c,d>; ₅

d)    c < s < d, i dla dowolnego e > 0 istnieje S > 0, że

\(D₂<p)(x, t)-(J>₂9>)(x,s)\ < e dla dowolnego x e <a, b) oraz t e (s—S, s+ 8). Określmy

(iw)    /w =}<Kx,mm (c<<0-

Wtedy (D_{2 V}y e ^(a), f’(s) istnieje oraz

im) ³ '**    jTW- !(D₂M^s)Mx).' ^U

Zauważmy, że c) po prostu zapewnia istnienie całki (100) przy dowolnym t e (c, d% | Zauważmy też, że d) zachodzi w widoczny sposób, jeżeli D₂ 9? jest ciągła na prostokącie, gdzie określona jest funkcja <p.

Do wód. Rozważmy ilorazy różnicowe

t^-s

dla 0 < ]f—s] < 5. Na mocy twierdzenia 5.10 każdemu punktowi (x, t) odpowiada m leżące między sit, dla którego \j/(x, t) == (D₂ ip)(x, u). Wtedy d) wynika, że

(102)    t)-{I>2<p)(x, s)I < e (a < x < b, 0■■< |*-s| < 5).

Zauważmy, że

(103)    m    = JV(x,f)d«(x).

Ze (102 if należy c

9.43. J 9.42 zastęp jący przyk]

(104) oraz

(105)

Obie z całe" wane od po Zauwai dzimy.że/

(106)

Aby to

(107)

Ponieważ |i nejniż /S/2;;

(108) '

(W przypac Ustalnr nika, że

Przy h~* Oc Pójdźm;

(109)

Zatem tf(t) (HO)