10 (53)

204

9. Funkcje wielu zmiennych

21.    Określmy/w R² wzoremf(x, y) = 2x³—3x^ł+2y*+3y^I.

a)    Znaleźć cztery punkty, w których gradient/jest równy 0. Pokazać, źe/ma dokładnie jedno maximum oraz jedno minimum w R².

b)    Niech S będzie zbiorem tych wszystkich punktów (x, y) s R², w których/(x, y) = 0. Znaleźć te wszystkie punkty S, które posiadają otoczenie, gdzie równanie/(x, y) = 0 może być rozwiązane względem y w zależności od x (lub względem x w zależności od y). Opisać S możliwie najdokładniej.

22.    Przeprowadzić dyskusję analogiczną jak w zadaniu 21 dla/(x,y) = 2x³+6xy^J—3x^J+3y².

23.    Określmy / na jR^s wzorem /(x, y_lt y₂) = x²y₁+e^,+y₂. Pokazać, że /(O, 1, — 1) = 0, (D,f) (0, — 1) ^ Cl i źe istnieje wobec tego różniczkowalna funkcja g określona na pewnym otoczeniu punktu (1, — 1) w R², taka, że

0(1, -1) = 0 oraz/GKyj, y₂), y„ y₂) = 0.

Znaleźć (D_l0) (1, -1) i (D₂g) (1, -1).

24.    Dla (x, y) # (0,0) zdefiniujmy f = (/j,/₂) za pomocą wzorów

x²—y²

x²+y^v

fi(x,y)=‘

xy

x²+y²'

Obliczyć rząd f'(x, y) i znaleźć zbiór wartości odwzorowania f.

25.    Niech A e L(Rⁿ, R") i niech r będzie rzędem A.

a)    Niech S ma takie samo znaczenie jak w dowodzie twierdzenia 9.32. Pokazać, że S^jest projekcją w R^m, której jądrem jest AT (A) i której obrazem jest #(S).

Wskazówka. Na mocy (68) mamy S>4S>4 = SA.

b)    Wykorzystać a) dla pokazania, że dim^f'(y4)+dimdt(A) = ».

26.    Pokazać, że istnienie (a nawet ciągłość) Z), ₂ / nie pociąga istnienia D₃f Dla przykładu niech/(x, y) = g(x)_r gdzie 0 nie jest nigdzie różniczkowalna.

27.    Niech /(0,0) «= 0 oraz

/(*> y) = ~£_+yf\ jeśli (x, y) / (0,0).

Wykazać, że

a)    f D_tf i D₂f są ciągłe na R¹;

b)    D_tif i D₂J istnieją w każdym punkcie R² i są ciągle wszędzie z wyjątkiem punktu (0,0);

(0 < X < y/1),

(yft < X < 2 y/t),

(w pozostałych punktach).

c) (D₁₂f) (0,0) = 1 oraz (D_2lf) (0,0) p -1. 28. Dla t ^ 0 niech

Niech ę>(x, t) = — <p(x, |t|) dla t < 0. Pokazać, że 95 jest funkcją ciągłą na R² oraz (D₂q>) (x, 0) = 0 dla dowolnego x. 1

Określmy/(r) = J p(x, t)dx. Pokazać, że/(t) = 1 dla |t| < J. Zatem -1

/'(0)/ 1 (D₂₉)(x,0)dx.

-1

29. Niech E będzie otwartym podzbiorem R". W tekście tego rozdziału zdefiniowaliśmy klasy V(E) oraz 'if "(£)-Postępując indukcyjnie określimy klasę ¥**>(£) jako zbiór wszystkich funkcji, których pochodne cząstkowe D_tf,... _r DJnależą do V*- ’>(£).

Załóżmy, że/e VW(E). Pokazać (stosując kolejno twierdzenie 9.41), że pochodna Jętego rzędu Z)_{(Jj 4}/ = ** ^Di,^Di, ś>₄/nie zmieni się, jeżeli dokonamy permutacji ciągu wskaźników i_t,.., (».

Dla przykładu, jeżeli n > 3, to D₁₂₁₃f m D_3ltlf przy dowolnej funkcji feVW.

38. Niech/e W(£), gdzie £ jest otwartym podzbiorem R\ Ustalmy a 6 £, i niech xe R” będzie Miski 0, że punkty p(r) m a+tx leżą dla 0 < r< 1 wewnątrz £.