10 (41)

192

9. Funkcje wielu zmiennych

klasy , zdefiniowanego w otoczeniu (3,2,7) takiego, że g(3,2,17) = (0* 1) oraz f(g(y), y) = o. W celu obliczenia g'(3,2,7) możemy posłużyć się formułą (58). Ponieważ

20|_6

więc z (58) mamy

W terminach pochodnych cząstkowych znaczy to, że 'B&i - h - s» D&i = — Oifi    f»£>3 ffa = ^ w punkcie (3,2,7).

Twierdzenie o rzędzie

Mimo że twierdzenie to nie jest tak ważne jak twierdzenie q funkcji odwrotnej czy twierdzenie o funkcjach uwikłanych, zamieszczamy je jako jeszcze jeden interesujący przykład ilustrujący ogólną zasadę, mówiącą, że własności odwzorowania F klasy    w otoczeniu;

punktu x są podobne do własności odwzorowania liniowego F'(x).

Zanim przystąpimy do właściwego twierdzenia podamy kilka potrzebnych faktów

0    przekształceniach liniowych.

9.30.    Definicje. Niech X oraz Ybędą przestrzeniami liniowymi, a A 6IĄX, Y) niech będzie określone jak w definicji 9.6_; Jądrem operacji liniowej A nazywamy zbiór w szystkich xeX, dla których Ax - 0. Jest rzeczą jasną, i& jf(A) jest podprzestrzenią linigd wą X.

Podobnie .#(/!), obraz operacji A, jest podprzestrzenią liniową Y. Wymiar operacji A to wymiar jej obrazu. I tak na przykład elementami odwracalnymi w L(R^a) są dokładnie te operacje, których wymiar wynosi n. Wynika to z twierdzenia 9.5.

Jeżeli A i L(X, Y)iA ma wymiar 0, to Ax — 0 dla dowolnego xel,a w ięc Jf_r {A) = X. W związku z tą uwagą porównaj zadanie 25.

9.31.    Projekcje. Niech X będzie przestrzenią liniową. Operator P e L(X) nazywamy projekcją w X, jeżeli P² *= P. Bardziej dokładnie, znaczy to, że P(P(x)) = Px dla dowolnego xf X. Innymi słowy, każdy element obrazu 0t(jP) jest punktem stałym P. Potłąmy teraz kilka podstawowych własności projekcji:

a) JeżeliP jest, projekcją wX,to każdy element me'X posiada przedstawienie.w ppstaci

X = Xj + X₂,

gdziex_xe0l(p),ax%m Jf{P). ’l

Aby otrzymać takie przedstawienie niech Xj = Px,x₂ Mj x—x_t. Wtedy Px₂ = Px—Px_t = | = Px—P²x = 0. Dla wykazania jedynośei takiego przedstawienia podziałajmy P na x = x, + + x₂. Ponieważ x_x e 9t(P), więc Px_t Ą x_t; ponieważ Px₂ — 0, zatem x, = Px.

1    b) Jeśli przestrzeń X jest skończenie wymiarowa, a X_t jest jej podprzestrzenią liniową, to istnieje projekcja P, dla której &(P) = X_t. _