9. Funkcje wielu zmiennych

Wybierzmy c tak, aby zachodziła nierówność (43). Dla n >1 mamy wtedy d{x_n+l,x_n) = d(<p(xX «r(x„_i)) <    "

Na mocy indukcji otrzymujemy

<45)    d(x„_+i, cy(x,_ls x₀) - (« = 0,1„2, .f.)^

Dla n < m mamy stąd

dixi„ x_m) ^ £ x_;(c"4-'ć"⁺*+ ...+c^m_1)d(A:„ x₀) < [(l-^^d(xi/x₀)]e".⁴ J ■Ib «■*■+1? 4

Zatem (x_wj jest ciągiem Cauchy^go. Ponieważ przestrzeń X jest zupełna, lim x, *» x dla

»-o _

pewnego x 6 X.

Ponieważ 9? jest kontakcją, więc jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym na X. Wobec tego

i f (x) & lim ip(x_n) m lim x_B+} ~ gy.

Twierdzenie o funkcji odwrotnej

Twierdzenie to, z grubsza biorąc, mówi, że odwzorowanie f różniczkowalne w sposób ciągły jest odwracalne w otoczeniu każdego punktu x, w którym przekształcenie liniowe f(x) jest odwracalne.

9.24. Twierdzenie; ZMśmfyże f jest W-odwzorowaniem żbktfit ofavbiiego^vW<z Rⁿ w przestrzeń Rⁿ, f(a) jest odwracalne dla pewnego a e £ i b = f(a). Wtedy¹ *,

a)    istnieją w R" zbiory otwarte U i Vtakie, że ae U, be V, odwzorowanie f jest wzajemnie jednoznaczne na U i f (U) = V;

b)    jeśli g jest odwzorowaniem odwrotnym do { (istnieje na mocy aj), określonym na V

g(f(x))= x (x e U),

to ger(K).

Rozpisując równanie y = f(x) na składowe, dochodzimy do następującej interpretacji tego twierdzenia: Układ « równań

=/fal,, x_n)' (!<»<«)

pozwala wyznaczyć x_t,..., x„ w zależności od y_lf..., y„, jeśli tylko x i y będziemy brali z dostatecznie małego otoczenia punktów a i b; rozwiązania są określone jednoznacznie i są różniczkowalne w sposób ciągły.

Dowód, a) Niech f(a) = A, i wybierzmy X tak, aby

i M