0327

328

V. Funkcje wielu zmiennych

tego punktu. Tak jak i wyżej, łatwo jest dowieść, że przy dostatecznie dużym k w otoczeniu tym mieści się całkowicie prostokąt <a_k, b_k; c_k, d_k}, a wraz z tym prostokątem zawarta w nim część M_k zbioru J(. Tak więc cały zbiór Jt_k jest pokryty jednym obszarem a₀, podczas gdy zbiór ten wybraliśmy w taki sposób, by nie mógł on być pokryty żadną skończoną liczbą obszarów a. Otrzymana sprzeczność kończy dowód lematu.

W tych zastosowaniach lematu Borela, które czytelnik znajdzie w następnym ustępie i w innych częściach książki, jako zbiór Ji będzie zwykle występował obszar domknięty. Niekiedy jednak będziemy stosowali lemat również do innych zbiorów domkniętych, na przykład do krzywej ciągłej.

176. Nowe dowody podstawowych twierdzeń. 1° Pierwsze twierdzenie Weierstrassa. O funkcji /(x, y) zakładamy, że jest ona ciągła w obszarze ograniczonym domkniętym 2. Dla każdego punktu (x', y') tego obszaru można więc znaleźć takie jego otoczenie a', że w tym otoczeniu, zachodzi nierówność

\f(x, y)-f(x' ,y')\<e,

czyli

/(x\ y')-e<f(x, y)</(x', /)+£

(e oznacza z góry zadaną liczbę dodatnią). W obszarze a' funkcja jest więc ograniczona.

Stosując lemat Borela do układu Z= {a'} tych otoczeń można wydzielić z Z skończoną liczbę otoczeń a_k, a₂, ..., a„, które pokrywają łącznie cały obszar 2. Jeśli

Wi*S/(x,yXMi    w a, (* = 1,2, ..., n),

to biorąc jako m najmniejszą z liczb a jako M - największą z M„ mamy w 2):

m<:f(x, y)<M

cbdo.

2° Twierdzenie Cantora. Zadajmy sobie dowolną liczbę e>0 i weźmy dla każdego punktu takie jego otoczenie

ff'=(x' —5' ,x' + 5';y' — S', y' + <5') , że dla dowolnego punktu (x, y) z 2 należącego do tego otoczenia będzie

\f(x, y)-f(x’ ,-y')\<łe .

Jeśli (x₀, y₀) jest innym punktem z tego samego otoczenia, tak że

|/(x\/)-/(*o,yo)|<i^£’

to w rezultacie

(9)    \f(x,y)-f(x₀,y_Q)\<e.

Zastąpmy każdy prostokąt a' prostokątem cztery razy mniejszym o tym samym środku <x*' = (x'-}<5',x' + ;ł<5';/-i<5',/ + ±<n.