0311

312

V. Funkcje wielu zmiennych

[165

Można by rozszerzyć pojęcie punktu skupienia M₀(aj, a₂,    obszaru Jt i na

wypadek, gdy wszystkie współrzędne tego punktu albo niektóre z nich są nieskończo-neO.

Punkt (+oo, ..., +oo) jest na przykład punktem skupienia obszaru M, jeśli w obszarze tym znajdują się punkty o dowolnie dużych współrzędnych dodatnich.

Przy tym założeniu będziemy mówili, że liczba + jest granicą funkcji f(x₁,x₂, • • •, *„),

gdy wszystkie zmienne x_k,x₂.....x„ dążą do + oo, jeśli dla każdej liczby e>0 istnieje taka

liczba zl>0, że

\f(x_ltX₂, ...,X„)-^|<£, x_t>A , x₂>J,    ... , x_n>A

gdy tylko

Zapisujemy to wzorem

A= lim f(x_k, x₂, ..., x„).

Xl -♦ + 00 Xn~*" + OC

Wracając w szczególności do zmiennej x_mn, o której była mowa w końcu ustępu 160, powiemy, że zmienna ta przy nieograniczonym wzrastaniu obu wskaźników m i n dąży do A, jeśli dla każdego e>0 istnieje taki numer N, że

jx_mn-/ł|<e, gdy m>N, n>N.

Piszemy to tak

+ = lim x_mn , lub po prostu :    +=lim x_mn.

m~* + oo n~* + oo

Łatwo zrozumieć, jak należy postępować w przypadku, gdy A=+oo lub — oo.

166. Związek z teorią ciągów. Rozpatrzmy w przestrzeni n-wymiarowej ciąg punktów

{M_k} = {(x?>, xf, ..., *«>)} (k = 1,2,...).

Będziemy mówili, że ciąg ten jest zbieżny do punktu granicznego M₀{a_x,a₂, ...,a_n) jeśli dla k^> + co odległość

(7)    M₀ M_k-*0.

Zamiast tego można by zażądać, aby współrzędne punktu M_k dążyły każda z osobna do odpowiedniej współrzędnej punktu M₀, tzn. żeby było

(8)    xr-+a«K ....

Równoważność obu tych definicji wynika właściwie z udowodnionego w ustępie 162 twierdzenia o otoczeniach dwóch typów. Rzeczywiście, warunek (7) oznacza, że jakąkolwiek wybierzemy liczbę r>0, punkt M_k dla dostatecznie dużego k spełnia nierówność

M₀M_k<r,

C¹) W tym wypadku punkt M₀ nazywa się niewłaściwy.