0323

324

V. Funkcje wielu zmiennych

(a_k, b_k; c_k, d_ky. Można to zrobić dlatego, że każdy z prostokątów zawiera nieskończony zbiór punktów M_n.

Ponieważ

przeto na mocy (6):

<*k^x«_k<b_k i c_k^y„_k^d_k, lim x„_k = x* ,    limy„_t = y*,

a więc wydzielony ciąg częściowy {M„_k} jest zbieżny do punktu M*(x*, y*) jako do granicy [166],

D owód II. Można jednak postąpić inaczej posługując się twierdzeniem udowodnionym już w ustępie 41 dla przypadku ciągu liniowego. Jeżeli punkty naszego ciągu zawarte są w prostokącie skończonym (a, b; c, dj, to

a^x_n^b, c^y„^d (dla n- 1,2, 3, ...).

Stosując twierdzenie z ustępu 41 najpierw do ciągu {x_n} wydzielimy ciąg częściowy {x„_k} zbieżny do pewnej granicy x*. Tak więc dla ciągu częściowego punktów

(*„,>yn,),(x„₂, y„₂),... ,(x„_k, y_nk),...

pierwsze współrzędne mają już granicę. Stosując powtórnie wspomniane twierdzenie do ciągu drugich współrzędnych {y„_k} wydzielimy taki ciąg częściowy {y„_k }, który też dąży do pewnej granicy y*. Wówczas oczywiście ciąg częściowy punktów

(^Bk! ’ y<iki) > (^xn_k 2 ’ y»kj) > • ■ • >    ■

dąży do punktu granicznego (x*, y*).

Zauważmy także i tutaj, że oba rozumowania można przenieść na przypadek przestrzeni o n>2 wymiarach. W pierwszym wypadku na przykład zmieni się tylko liczba części, na które rozbija się dany obszar prostokątny, gdy podzielimy na pół każdy z przedziałów, który go określa. W wypadku ogólnym przedziałów tych będzie n, a części 2".

173. Twierdzenia Weierstrassa. Za pomocą udowodnionego twierdzenia można przede wszystkim udowodnić dla funkcji dwóch zmiennych pierwsze twierdzenie Weierstrassa.

Twierdzenie. Jeśli funkcja f(x,y) jest określona i ciągła w ograniczonym obszarze domkniętym Q) (^ł), to jest ona ograniczona, tzn. wszystkie jej wartości są zawarte między liczbami skończonymi

m^f(x, y)^M .

Dowód nie wprost jest zupełnie analogiczny do rozumowania z ustępu 84. Niech funkcja /(x, y) przy zmianie (x, y) w 2 okaże się nieograniczona. Wówczas dla dowolnego n istnieje w 9> taki punkt M„(x„, y„), że

00    y»)\>n ■

(‘) Który tym razem może być także niespójny.