0309

310

V. Funkcje wielu zmiennych

Zmienną u można rozpatrywać wówczas jako funkcję złożoną zmiennych niezależnych ti, h, f_m w zbiorze & za pośrednictwem zmiennych x_t,x₂, ■.., x„:

->0, •••» <P_n(h>h,->U);

u jest funkcją funkcji , ę₂, ..., ę„. (Porównaj ustęp 51).

Sam proces utworzenia funkcji złożonej z funkcji <p_lt ..., ę_n i funkcji / nazywa się, jak i w najprostszym wypadku funkcji jednej zmiennej, superpozycją. Czasami nazywamy superpozycją samą funkcję złożoną.

Klasa funkcji wielu zmiennych, z którą będziemy mieli do czynienia na początku, jest bardzo niewielka. Tworzy się ona w istocie za pomocą superpozycji funkcji elementarnych jednej zmiennej [48, 50] i z następujących funkcji dwóch zmiennych:

■ * . „

2 — x±y,    z — xy, z = — i z = x ,

y

tzn. z czterech działań arytmetycznych i tak zwanej funkcji potęgowo-wykladniczej.

Działania arytmetyczne zastosowane kolejno do zmiennych niezależnych x_ltx₂, ..., x_n i stałych prowadzą nas przede wszystkim do wielomianów

P(x_x, X₂, ..., X„) = £    i¹)

VlV₂...V_n    I

(funkcja wymierna całkowita) i do ilorazu dwóch takich wielomianów

Q(xi, x

Jl •’

•X„) =

ĘCy

Ic;,

_¥V|_vVj

^x2 •••■*»

lyM2

^x2 ^xn

(funkcja wymierna ułamkowa).

Wzięcie do pomocy funkcji elementarnych jednej zmiennej prowadzi na przykład do takich funkcji jak

/(x ,y,z) —

In (x + y + z) y/x² + y² + z²

ę(x, y, z, t) = sinxy + sinyz + sinzt + sintx ,

itp.

Te uwagi, które zrobiliśmy w ustępie 46 w związku z określeniem analitycznym funkcji jednej zmiennej, można powtórzyć także i tutaj.

165. Granica funkcji wielu zmiennych. Załóżmy, że funkcja f(x₂, x₂, ■■■, x_n) jest określona w pewnym zbiorze punktów Jt, który ma punkt skupienia M_a(a_x, a₂,    , a_n).

Analogicznie do definicji granicy funkcji jednej zmiennej będziemy mówili, że liczba A jest granicą funkcji f(x_ltx₂, ..., x„), gdy zmienne x_l,x,...,x„ dążą odpowiednio do

0) Wiemy, że znak £ oznacza sumę składników jednego typu. Tu mamy jednak skomplikowany wypadek, gdy składniki zależą od kilku wskaźników.