0379

380

V. Funkcje wielu zmiennych

Uwaga. W przykładach 1, 3, 4 wewnątrz rozpatrywanego obszaru istniał tylko jeden punkt „podejrzany”. Można by było sprawdzić, że w nim jest maksimum (lub minimum). Jednak w odróżnieniu od tego, co mówiliśmy w przypadku funkcji jednej zmiennej (patrz uwaga w ustępie 139), tutaj z tego faktu nie można wnioskować, że w tym punkcie funkcja osiąga największą (najmniejszą) wartość w obszarze.

Następujący prosty przykład pokazuje, że taki wniosek może być rzeczywiście fałszywy. Rozpatrzmy w prostokącie <—5,5; —1,1 > funkcję

u=x^p-4x²+2xy-y².

Jej pochodne

u'_x—3x²—Sx+2y,    u',=2x—2y

w tym obszarze są równe zeru jedynie w punkcie (0, 0). Łatwo sprawdzić za pomocą kryteriów z ustępu 197, że w tym punkcie funkcja ma maksimum równe 0. Jednak wartość ta nie jest największa w obszarze, bo np. w punkcie (5, 0) funkcja ma wartość u=25.

Wskutek tego, przy szukaniu największej (najmniejszej) wartości funkcji wielu zmiennych w obszarze okazuje się w praktyce zbyteczne badanie, czy w znalezionych punktach jest maksimum czy minimum.

201. Zadania. Liczne zadania — tak z dziedziny matematyki jak i z innych dziedzin nauki i techniki — prowadzą do zagadnienia wyznaczania największej lub najmniejszej wartości pewnej funkcji.

Rozwiązanie zadań 1) - 4) związane jest z przykładami rozpatrywanymi już w poprzednim ustępie.

1)    Spośród wszystkich trójkątów wpisanych w dane koło o promieniu R znaleźć ten, którego pole jest największe (rys. 107).

Oznaczmy przez x, y, z kąty środkowe oparte na bokach trójkąta; związane są one zależnością

x+y+z=2n ,

skąd

z—2n—x—y.

Pole AP wyraża się przez te kąty wzorem

P=\ R² sin x+Ł R* sin y+j R² sin z=| R² [sin x -t-sin y—sin (x +y) ].

Obszar zmienności zmiennych x i y jest określony nierównościami x>0, y>0, x+y<2n. Trzeba znaleźć

te wartości zmiennych, dla których wyrażenie w nawiasach ma wartość największą.

2 2

Wiemy już (ustęp 200, przykład 1)), że są to wartości x=y=-^n, wówczas także r= i otrzymujemy trójkąt równoboczny.

2) Spośród wszystkich trójkątów o danym obwodzie 2p znaleźć ten, którego pole P jest największe. Niech x, y, z oznaczają boki trójkąta, wówczas według wzoru Herona

P= *Jp(p-x)(p-y)(p-z).

Można by podstawiając tu z=2p—x—y przekształcić P do postaci

P=\lp(p-x)(j>-y)(x+y-p)

i szukać największej wartości tej funkcji w trójkątnym obszarze, o którym mówiliśmy w ustępie 160, 6).

Postąpimy jednak inaczej. Zadanie sprowadza się do znalezienia największej wartości iloczynu dodatnich liczb

u=(p—x)(p — y)(p—z)