0357

358

V. Funkcje wielu zmiennych

W przytoczonym przykładzie pochodne

x²+y²

{    8x²y² )

(x²+/>0)

nie mają w ogóle granicy, gdy x->0 i y->0, a więc są nieciągłe w punkcie (0, 0); w tym wypadku naszego twierdzenia nie można naturalnie stosować.

Ciekawą rzeczą jest zestawienie kwestii zachodzenia równości (1) z kwestią równości granic iterowanych rozpatrzoną w ustępie 168. Jeśli założyć istnienie pierwszych pochodnych, to pisząc wyrażenie W w postaci (2) łatwo zauważyć, że

(6)

(6*)

fy(x₀ + h, y₀)-fy(x₀, y₀) .. .. f_yx(.xo. y₀)= lim--;---- lun lim W,

f_Xy(x₀, yo) = lim

k-0

fx(x0, y₀ + k)-fx(x₀, y₀)

= lim lim W

k—0 k-0

(5) i analogicznie	.. ... fy(x0 + h,y0)-fy(x0, y0) lim W =--- a-o h	(h=const)
(5*)	fx(xo,y0+k) fx(x0, y0)	(k=const)
	A-O k
Wówczas na	mocy samej definicji pochodnej

A-O

k-0 k—0

Kwestia istnienia i równości pochodnych mieszanych jest więc identyczna z kwestią istnienia i równości granic iterowanych wyrażenia W (zależnego od A i A:).

Uwaga ta pozwala na następujące wzmocnienie udowodnionego twierdzenia: Załóżmy oprócz istnienia pierwszych pochodnych tylko istnienie jednej z pochodnych mieszanych w otoczeniu punktu (jc₀ , y₀) (wyłączając nawet sam ten punkt), na przykład f*_y(x, y). Niech następnie istnieje granica skończona

lim fź'y(x, y) = A . x—xo y-*yr>

Stąd wynika już istnienie w punkcie (x₀, y₀) obu pochodnych mieszanych i równość (1)(').

Rzeczywiście, wychodząc z poczynionych założeń można dojść, jak i wyżej, do równości (3), następnie zaś korzystając z istnienia granicy funkcji /*"0c, y) w punkcie (x₀, y₀) można udowodnić istnienie granicy podwójnej przy jednoczesnym dążeniu h i k do zera

lim W=A .

/■-o

k—0

Granice zwykłe (5) i (5*) istnieją jednak z założenia. Na mocy twierdzenia z ustępu 168 istnieją więc takie granice iterowane (6) i (6*) i są równe granicy podwójnej, a to właśnie znaczy, że istnieją i są równe pochodne fjź{x₀, y₀) i f_Xy(^xo- yo)-

(‘) Jest to twierdzenie H. A. Schwarza.