0147

148

II. Funkcje jednej zmiennej

Przytoczony przykład jest interesujący, jako związany z jednym z zagadnień astronomii teoretycznej. Równanie

(3a)    E=M+e sin E

jest sławnym równaniem Keplera, które wiąże średnią anomalię M planety z jej anomalią mimośrodową E (e jest mimośrodem orbity planety). Udowodniliśmy więc, że przy dowolnej wartości anomalii średniej równanie Keplera wyznacza istotnie jednoznaczną wartość anomalii mimośrodowej.

84. Twierdzenie o ograniczoności funkcji. Jeżeli funkcja f{x) jest określona (a więc przyjmuje wartości skończone) dla wszystkich jc z pewnego przedziału skończonego, to nie musi być w tym przedziale ograniczona, tj. nie pociąga to za sobą ograniczoności zbioru {/(*)} przyjmowanych przez funkcję wartości. Na przykład niech funkcja f(x) będzie określona, jako

/(*)=— dla 0<x<l,    /(0)=0.

x

Funkcja ta przyjmuje tylko skończone wartości, ale nie jest ograniczona, bo przy x bliskim zeru może przyjmować dowolnie duże wartości. Zauważmy przy okazji, że w przedziale półotwartym (0, 1> funkcja jest ciągła, ale w punkcie x=0 jest nieciągła.

Inaczej jest z funkcjami ciągłymi w przedziale domkniętym.

Twierdzenie ( Weierstrassa I). Jeżeli funkcja f (x) jest określona i ciągła w przedziale domkniętym <a, b), to jest ograniczona, tj. istnieją takie stałe, skończone liczby m i M, że

m^f(x)^M dla a<x<b.

Dowód poprowadzimy przez sprowadzenie do niedorzeczności. Załóżmy, że funkcja /(x) dla x z przedziału <a, jest nieograniczona.

W takim przypadku dla każdej naturalnej liczby n istnieje w przedziale {a, by taka wartość x=x_n, że

(4)    \f(x_n)\>n.

W myśl lematu Bolzano-Weierstrassa [41] z ciągu {*„} można wyjąć podciąg {x„_k}, zbieżny do granicy skończonej:

x„_k-+x₀, gdy k-* + oo,

przy czym oczywiście a<x₀<ń. Na mocy ciągłości funkcji w punkcie x₀ powinno być wówczas również

/(x„_kW(*o)>

co jest niemożliwe, bo z (4) wynika, że

i/(x_Bk)|->oo.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że założenie dowodowe było fałszywe, skąd wynika prawdziwość twierdzenia.