0081

82

II. Funkcje jednej zmiennej

liczb 1,2, ...,n jest liczb względnie pierwszych z n. Mimo swoistego rodzaju podanych praw, możemy za ich pomocą obliczyć wartości funkcji, tak jak za pomocą wzorów. Mamy na przykład:

t(10)=4 ,    t(12) = 6,    t(16) = 5,    ... ,

ę>(10)=4,    ę>(12) = 4,    ę>(ló) = 8,

W naukach przyrodniczych i w technice zależność pomiędzy wielkościami ustalamy często eksperymentalnie, lub drogą obserwacji. Jeżeli np. poddamy wodę dowolnie wybranemu ciśnieniu p (atm), to doświadczenie pozwala określić odpowiadającą temu ciśnieniu temperaturę 9(°C) wrzenia wody: 9 jest funkcją p. Jednakże ta zależność funkcyjna dana jest nie wzorem, ale tabelką, w której zebrano po prostu dane otrzymane z doświadczenia. Przykłady tablicowego określenia funkcji łatwo znaleźć w dowolnym informatorze technicznym.

Zauważmy wreszcie, że w pewnych przypadkach — za pomocą przyrządów samo-piszących — zależność funkcyjną pomiędzy wielkościami fizycznymi daje wykres. Na przykład wykres indykatorowy wykreślany przez indykator daje zależność pomiędzy objętością V i ciśnieniem p pary w cylindrze pracującej maszyny parowej, barogram wykreślony przez barograf podaje przebieg dobowy ciśnienia atmosferycznego, itp.

Nie będziemy wchodzili w szczegóły co do tablicowego i graficznego sposobu określania zależności funkcyjnej, bo nie będziemy się nimi zajmowali w analizie matematycznej.

46. Analityczny sposób określenia funkcji. Uczynimy kilka objaśniających uwag dotyczących określenia funkcji przez wzór analityczny, czyli wyrażenie analityczne, które w analizie matematycznej odgrywa wyjątkową rolę.

1° Zapytajmy przede wszystkim, jakie operacje analityczne lub działania mogą występować w tych wzorach? Na pierwszym miejscu należy tu postawić wszystkie zbadane w algebrze elementarnej i w trygonometrii działania: działania arytmetyczne, podnoszenie do potęgi (i obliczanie pierwiastka), logarytmowanie, przejście od kątów do ich funkcji trygonometrycznych i z powrotem (por. ustępy 48-51). Jednakże należy podkreślić, że w miarę poszerzania naszych wiadomości z analizy, dołączymy jeszcze inne operacje, a w pierwszym rzędzie przejście do granicy, które czytelnik zna już z rozdziału pierwszego.

Tak więc pełne znaczenie pojęcia wyrażenie analityczne lub wzór analityczny będzie się kształtowało stopniowo.

2° Druga uwaga odnosi się do ooszaru określoności funkcji danej wyrażeniem czy wzorem analitycznym.

Każde wyrażenie analityczne zawierające argument x ma, że tak powiemy, naturalny obszar stosowalności: jest to zbiór tych wszystkich x, dla których wyrażenie jest sensowne, tj. ma dobrze określoną wartość skończoną, rzeczywistą. Wyjaśnimy to na najprostszych przykładach.

I tak, dla wyrażenia 1/(1 +x²) takim obszarem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Dla wyrażenia yjl—x² obszar ten sprowadza się do domkniętego przedziału < —1, 1>, poza którym wyrażenie traci sens. Natomiast wyrażenie 1/^1—x² ma jako naturalny obszar stosowalności przedział