0155

156

II. Funkcje jednej zmiennej

Zatem w każdym ze wspomnianych otoczeń funkcja f(x) jest ograniczona: z dołu liczbą f{x')-e, a z góry liczbą/OeO+e.

Dla czytelnika powinno być jasne, że i tutaj do nieskończonego układu Z otoczeń o wspomnianej własności należy zastosować lemat Borela. Z lematu tęgo wynika, że w układzie Z znajdziemy skończoną ilość otoczeń (6), także pokrywających łącznie cały przedział <a, by. Jeżeli

	W ffj,
m2<f(x)^M2	w a2,
m„<f(x)^Mn	w ff„,

to biorąc jako m najmniejszą z liczb m_ly m₂, ..., m„, a jako M największą z liczb M_x, M₂,..., M„, mamy oczywiście

m</(x)<M

w całym przedziale <a, by, cnd.

3° Twierdzenie Cantora [87]. Niech będzie dane dowolne e>0. Tym razem każdy punkt x' przedziału <a, by pokryjmy takim otoczeniem a'={x'—ó', x'+S'), żeby w nim spełniona była nierówność

\f(x)-f(x’)\<ie.

Jeżeli x₀ jest także punktem tego otoczenia, to mamy jednocześnie również

| f(x’)-f(x₀)\<ie.

Tak więc dla dowolnych punktów xix₀z<r’ mamy

|/W-/(x₀)|<b.

Rozważmy teraz zamiast otoczenia a‘ otoczenie

d'={x'-tf' ,x'+tf').

Z tych otoczeń także tworzymy układ Z pokrywający przedział <a, by, i do niego stosujemy lemat Borela. Przedział <a, by pokrywamy skończoną ilością przedziałów z Z:

ó_t=(x_t-ł&t,x_t+ł5_t) 0=1,2.....ń).

Niech teraz 8 będzie najmniejszą z liczb ió,, a x₀, x niech będą dowolnymi dwoma punktami naszego przedziału, spełniającymi warunek:

(7)    |x-x₀|«5.

Punkt x₀ powinien należeć do jednego z wydzielonych otoczeń, np. do otoczenia

ć_lo=(x_io-i8,_a, x_lo+i<5io)>