0083

84

II. Funkcje jednej zmiennej

Nie należy przy tym sądzić, że zachodzi istotna różnica pomiędzy funkcją daną jednym wzorem dla wszystkich x a funkcją, której określenie wymaga kilku wzorów. Zwykle funkcja dana kilkoma wzorami może być dana i jednym wzorem (co prawda, za cenę pewnęgo skomplikowania wyrażenia).

Jeżeli np. dopuścimy operację przejścia do granicy, to pierwsza z przytoczonych funkcji, /(jc), może być dana jednym wzorem (od razu dla wszystkich jc):

*²"-l

/(.*•)=lim -sr;-r •

* +1

Rzeczywiście, dla |jcI> 1 potęga jc²"-* + oo, a jej odwrotność dąży do zera [27], czyli

I

1 —

- =lim

xⁱⁿ + \    1

1 +

X

= 1.

2n

Dla |x|<l potęga jc²"-»0 [25,6)] i w tym przypadku

lim

.t²" + l

Wreszcie, dla jc = ± 1 jest oczywiście x²"= 1, skąd

JC²" + 1

i w granicy otrzymujemy 0. A więc nowa definicja jest zgodna ze starą.

**"-1 ; —0 ,

47. Wykres funkcji. Chociaż w analizie matematycznej nie podaje się definicji graficznej funkcji, to zawsze podaje się graficzną ilustrację funkcji. Przejrzystość i poglądowość wykresu czyni go niezastąpionym środkiem pomocniczym przy badaniu własności funkcji.

Niech w pewnym przedziale SC dana będzie funkcja y=f(x). Wyobraźmy sobie na płaszczyźnie dwie wzajemnie prostopadłe osie współrzędnych — oś x i oś y. Rozważmy parę odpowiednich wartości x i y, gdzie x wzięto z przedziału SC, a y=f(x). Obrazem tej pacy wartości na płaszczyźnie jest punkt M(x, y) o odciętej x i rzędnej y. Gdy zmienna jc przebiega przedział SC, punkt opisuje pewną krzywą AB (rys. 5), która jest obrazem