0446

447

§ 4. Zamiana zmiennych

przekształci się przy tym w pewną funkcję

Wykażemy teraz, że

(a)

(b)

¥0«i, u₂, .... u„,t_k,t₂, ...,/„). dy/

, ■=x_l. dti

dy/    dtp

du,    du,

0 = 1,2.....Tl).

Zróżniczkujmy równanie ę = y/ względem x_k traktując przy tym y/ jako funkcję zmiennych x,, x₂, ..., x„ za pośrednictwem , t₂, t„

0=1,2, ...,77).

dg>    " dy/ d² tp

dx_k    ,t"i dt, dx, 8x_k

Z drugiej strony, pochodna dtpjdx_k jest funkcją jednorodną stopnia pierwszego względem zmiennych x_k, x₂, ..., x_n. Zatem według wzoru Eulera [188] możemy napisać

d² tp

-Xi

dx, dx_k

0 = 1,2, ..., /i).

Porównując obydwa znalezione wyrażenia dla pochodnej dę/dx_k i korzystając z tego, że O otrzymujemy równość (a).

Zróżniczkujmy teraz równanie <p=yf względem 7/,:

dtp dy/    " dtp d² <p

du_t out _k=_t dt_k dx_k du,

Pochodne dtpldu, są oczywiście funkcjami jednorodnymi drugiego stopnia względem x,, x₂.....x„.

Stosując znowu wzór Eulera i korzystając z równości (a) widzimy, że

d² ę dx_k du,

»=i dx_k \du,J    du,

Stąd już wynika zależność (b).