0155

156

n. Funkcje jednej zmiennej

Zatem w każdym ze wspomnianych otoczeń funkcja/(x) jest ograniczona: z dołu liczbą f(x')—e, a z góry liczbą/(jfO+e.

Dla czytelnika powinno być jasne, że i tutaj do nieskończonego układu Z otoczeń o wspomnianej własności należy zastosować lemat Borela. Z lematu tęgo wynika, że w układzie Z znajdziemy skończoną ilość otoczeń (6), także pokrywających łącznie cały przedział by. Jeżeli

	W ffj,
m2<f(x)^M2	w o2,
	w ff„,

to biorąc jako m najmniejszą z liczb m_lt m₂, ..., m„, a jako M największą z liczb M_lt M₂,..., M„, mamy oczywiście

m</(x)<M

w całym przedziale <a, by, cnd.

3° Twierdzenie Cantom [87]. Niech będzie dane dowolne e>0. Tym razem każdy punkt x' przedziału <a, by pokryjmy takim otoczeniem o'=(x'—ó’, x'+S’), żeby w nim spełniona była nierówność

\f(x)-f(x')\<ie.

Jeżeli x₀ jest także punktem tego otoczenia, to mamy jednocześnie również

| f(x’)-f(x₀)\<ie.

Tak więc dla dowolnych punktów x i x₀ z </ mamy

|/(*)-/(*o)|<^B-

Rozważmy teraz zamiast otoczenia a' otoczenie

ó'={x'-\5' ,x'+tf').

Z tych otoczeń także tworzymy układ Z pokrywający przedział <a, by, i do niego stosujemy lemat Borela. Przedział <a, by pokrywamy skończoną ilością przedziałów z Z:

^=(*1-^1,*!+^)    0=1,2.....n).

Niech teraz S będzie najmniejszą z liczb ió,, a x₀, x niech będą dowolnymi dwoma punktami naszego przedziału, spełniającymi warunek:

(7)    |x-x₀|«5.

Punkt x₀ powinien należeć do jednego z wydzielonych otoczeń, np. do otoczenia

0t_o=(xi_o-łK, ^xlo + ł^SJ>