Analiza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej

Zad. 7. Wykaż, że iloczyn funkcji y = -<!a² + x² przez jej pochodna równy jest x.

Zad. 8. Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz jej punkty przegięcia:

i _ ^x _! ^y 2 x	2. y = V- 4x^2+l	3.	y = xe ^1
„ 1 4. y = arctg— X	5. y = ln(x^3+x^2)	6.	a, x „ y = —ln—, a > 0 x a
7. y =x^Ą -8x^3 + 18x^2 + 64x-11	8. y = arcsin— X	9.	y = e^j2 (x^3 - x)
Zad. 9. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:
1. y = 2x^3 -3x^2 -36*-8 xe(-3,6)	2. y = 2sinx-	sin 2x
Zad. 10. Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
-ix^2 1. y = xe ^2	2. y = ln(*^2-x-2)	3.	y = e^r*
1 4. y = xe^x	5. y = yjx^3- 6x^2	6.	y = V2x^2 -x^3
J|> ii	8. y = -Jx\nx	9.	y = x - 2 arctgx
10. y = ln cos x	11. y = x^2 lnx	12.	l-x^2 y = e
Zad. 11. Wyznacz styczna i normalną do krzywej w podanym punkcie:
1. y = arctg^ + r P( 1, /(l))	2- y = —, Ąe,f(e)) X	3.	y = 2xe^x, x0 =2
^4- y= *o^=1 X+1	5. y = arctgx^ln\ x0 =[l.23]
Zad. 12. Wyznacz styczną do krzywej w jej punkcie przegięcia:
1. v= lnx + —x^3 y 3	xe^x 3. y = x^2lnx		. lnx 4. y =- X

Zad. 13. Napisz równanie normalnej do krzywej f(x) w punkcie, który jest punktem przegięcia krzywej g(x):

1. f{x) = e \ g(x) — e * sin^, ie(0,2n)    ₂ f(_x) = —,    g(x)=2xe' ^x

e

Zad. 14. Znajdź kąt przecięcia krzywych:

1. y = lnx z osią OX    _ i_x    3.    x²+y²=S, y = fź 4. y = (x-2)², y = -x²+4x + 4

z. y — £ , y — z

Zad. 15. Wykaż, że:

1.    normalne do krzywej y = x²-x + l w punktach x, = 0, x₂ = -1, x₃ = 2— przecinają się w jednym punkcie

x² +1    1    f V

2.    styczne do krzywej y = —- w punktach przecięcia krzywej z prostą y = — przecinają się w punkcie PO,— .

x + 3    2    I, 4,

Zad. 16. Oblicz wartość przybliżoną wyrażeń:

3. 1.05⁷-sin31°.

1. \fSAl + e⁰³    2.    V4!Ó2-lnl.02