Skrypt

§3. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Analizowana w poprzednim paragrafie ciągłość funkcji wzięła się z żądania, by niewielkim zmianom argumentu funkcji towarzyszyły również niewielkie zmiany wartości funkcji. W wielu zagadnieniach taka informacja o funkcji w zupełności wystarcza, ale na wiele pytań, jak choćby te dotyczące ekstremów funkcji i jej monotoniczności, nie jesteśmy w stanie odpowiedzieć odwołując się tylko do pojęcia ciągłości funkcji. By móc odpowiedzieć na te pytania, potrzebujemy precyzyjniejszych narzędzi (twierdzeń) niźli te, które oferuje nam ciągłość funkcji. Te oczekiwania doprowadziły do zdefiniowania pochodnej funkcji. Do definicji pochodnej można dojść różnymi drogami. My odwołamy się do geometrii ze względu na jej intuicyjność i dostępność. Pomysł jest tak prosty, że aż banalny. Jeżeli nie potrafimy badać samej funkcji f to zajmijmy się inną funkcją, taką którą z jednej strony potrafimy badać, a która z drugiej strony w miarę dokładnie oddaje charakter funkcji / Na początek sięgnijmy po funkcje najprostsze. Najprostsze? - To znaczy liniowe y - ax + b. Jeżeli interesuje nas zachowanie się funkcji / w otoczeniu punktu (x₀,/(x₀)), to najlepszym kandydatem wydaje się być funkcja styczna do wykresu funkcji / w punkcie (x₀,/(x₀)). Oczywiście taka funkcja „pasuje'’ do funkcji /w bardzo niewielkim obszarze, ale „Bóg zapłać i za to”, w wielu sytuacjach to w zupełności wystarcza. Tyle pomysłu. Przejdźmy teraz do szczegółów technicznych, to znaczy do wyznaczenia funkcji liniowej stycznej do / w punkcie (x₀,/(x₀)). By ją wyznaczyć, musimy wyznaczyć a i b, jej dwa współczynniki. Łatwo zauważyć, że mając współczynnik a, bez trudu wyznaczymy współczynnik b. (Jak? To pozostawiam jako proste ćwiczenie). Pozostał współczynnik kierunkowy a ! Jedyną rzeczą którą potrafimy wyznaczyć, to współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty. Spójrzmy na rysunek.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty (x₀,/(x₀)) (zwanej sieczną) ma postać

/(x,)-/(x₀)

y =

a jej współczynnik kierunkowy a =

(x-x₀) + /(x₀),

x, ^XQ

nosi nazwę ilorazu różnicowego funkcji /

Jeżeli punkt xo uznamy za stały, a z punktem x\ będziemy zmierzali do punktu xo, to należałoby oczekiwać, że współczynnik kierunkowy siecznej będzie zmierzał do współczynnika kierunkowego stycznej (oczywiście w przypadku regularnej funkcji). Tak dochodzimy do definicji pochodnej funkcji.

23