3818438027

I. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

A: Definicje

1.    Definicja funkcji

Przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X lpkt. ze zbioru Y

2.    Definicja funkcji parzystej

y = f(x) jest funkcją parzystą jeżeli /(x) = /(—x) funkcja parzysta jest symetryczna względem osi OY

3.    Definicja funkcji nieparzystej

/(HO = '-/GO

Funkcja jest symetryczna względem początku układu współrzędnych

4.    Definicja funkcji różnowartościowej

/\ (x_a#x₂)<=>/(*!)*/(x₂)

ar^eJf

5.    Definicja funkcji ograniczonej

а)    y = /(*) jest funkcją ograniczoną jeżeli można znaleźć taką liczbę M, że dla każdego x E D |/(x)| < M

б)    y = /(x) jest funkcją nieograniczoną jeżeli dla każdej liczby M istnieje taki x, że

/CO > M

6.    Definicja funkcji monotonicznej

Funkcja zachowująca się tak samo w pewnym zbiorze, najczęściej przedziale - jest to funkcja, która ciągle rośnie lub ciągle maleje.

7.    Definicja funkcji odwrotnej

Dla funkcji różnowartościowych istnieje funkcja odwrotna która jest symetryczna względem prostej y = x

B:Ciągi liczbowe

1.    Definicja ciągu

Jeżeli każdej liczbie naturalnej n przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę rzeczywistą a„, to takie przyporządkowanie nazywamy ciągiem liczbowym i oznaczmy K MOJ,(On)⁰⁰

2.    Definicja granicy ciągu

Liczbę g nazywamy granicą ciągu, jeżeli dla każdej liczby e > O istnieje 5 > O taka, że dla każdego n> 6 spełniona jest wartość !<*„_! | < e, co zapisujemy:

Umo_n = ₅<=>/\    \a_n-g\<E

5>0    n>8

3.    Definicja ciągu ograniczonego

Ciąg nazywamy ograniczonym z dołu(z góry), jeżeli istnieje taka liczba m(M), że dla każdego n G N, (Ln > m (tin < m)

4.    Definicja ciągu monofonicznego

Ciąg dn nazywamy rosnącym(malejącym), jeżeli dla każdego n e N-. ^an+i > °n -* rosnący CLn+i < a„ -> malejący

Jeżeli AnEN ^n+i > a_n V a_n+1 < a^, to ciąg a_n nazywamy słabo rosnącym (malejącym)