60880

Analiza Matematyczna / Równania Różniczkowe

Informatyka

Funkcje dwóch zmiennych rachunek różniczkowy

1. RÓŻNICZKA

a)    Op₂-₁₎/(ft₁,A₂),dla/(*,!/) = *V-7*V + 3x d) 0_(W)/(/>,,ftj), dla }(x,y) = ?'**-*'»

b)    D^₂₎/(Ai,h₂),dla/(x,|/) = arctgJ    e)    dla /(*,!/) = sinarcosj/

«) < _}Vo)f(hiM), dla /(x,y) = (xy +    l)³    f)    Df_{Xo Vo)}f(hdla /(x,y) = sin(3x²y³)

2. PŁASZCZYZNA STYCZNA

a)    /(ar,y) = x³y - 2x"y³ -x + 2y w P(l, -1)    d) /(x,y) = e***⁴^⁰⁰** w P(0,1)

b)    /(x,y) = sinxcosy w P(§, f)    e)    /(x,y) = ln(x²y + ex + y + e) w P(0,0)

c)    y) = 3x²y³ + 2x²y² + 2xy³ - xy    +    y - 3    f)    /(_x, _y) =    _w P(4,3)

w Pi (3,0) oraz P2(2,1)

3. WZÓR TAYLORA

a)    /(x,y)    = e** w (1,1) z P₃    d)    /(x,y) = sin²(x - y) w    (jt, §) z    P₃

b)    /(x,y)    = ln(xy + 1) w (0.1) z P₃    e)    /(x,y) = cos(xcosy) w    (0,0) z    R₂

c)    /(x,y) = 3x²y + 2xy + y² - x + 1 w (2,2) z P._t f) /(x,y) =    - J)² w (1, -1) z R₂

4. EKSTREMUM LOKALNE

a)    f(x,y)    = e*~²(x² - 2y²)    e)    /(x.y) = x⁴ + y⁴ - 2x²    + 12xy    - 2y²

b)    /(x, y)    = 1 - \/x² + y²    0    /(*» y) = x² + y³ - 6xy    - 48y

c)    /(ar, y) = 2x³ + xy² -f 5x² + y²    g) y) = 2x² + y² - ln(xy) + 1

d)    /(ar,y) = * + £ + y

5. WARTOŚĆ NAJWIĘKSZA I NAJMNIEJSZA

a)    /(ar, y) = 2x² - 3y²

w {(x, y) € R² : x² + y² < 25}

b)    /(x,y) = x² -f y² - xy + x + y w zbiorze ograniczonym przez x = 0, y = 0, x + y + 3 = 0

c)    f(x,y) = 2x² + 2xy - 3y² + 14x + 7

w trójkącie A(0.0). P(-3,-3), C(3, -3)

d)    /(x, y) = x² - y² + 3 + 2y

w {(x,y) € R² : |x| + |y| < 2}

^e) /(x,y) = X³ + 8y³ - 24xy w kole o środku (0.0) i promieniu 1 0 /(*> y) = ary² - x²y - x²

w trójkącie wyciętym przez OX. OY. y - x+ 1 = 0 g) /(*> y) = sin y + cosx + cos(y - x)

w kwadracie A(0,0), P(tt,0), C(tt,jt), D(0, tt)

1») /(*,y) = x² + y²

w elipsie o rówaniu y + ^ = 1

G. POCHODNA KIERUNKOWA

a)    /(x,y) = 3x² + 2xy - y³ w P(-l, 1) w kierunku w(j,—|)

b)    /(ar, y) = cos(xy) w P(0.1) w kierunku v(^r, ^)

c)    /(ar. y) = ln(x + y) w P(2.1)

w kierunku    A)

d)    /(ar,y) = \/x² + y² w P(0,0) w kierunku w(—5, ^)

e)    /(*,y) = ar lny - ylnx w P(l.l) w kierunku v(—3)

0 f(x,y) = 2|x| +3|y| w P(0.0)

w kierunku *>($» {§)

ttiftr JtNtimn Mciwnrr AG// - 2009/2010