Matematyka 2 5

I 14 U. Rachunek różniczkowy funkcji wtelu :mictm\xh

6. EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

EKSTREMA FUNKCJI Załóżmy, żc funkcja f zmienny \ i > |est określona na pewnym otoczeniu punktu p„ (x_0fy₀) Przyjmijmy następujące określenia:

Mówimy. żc funkcja f ma w punkcie p_rt maksimum lokalne, gdy dla punktów p z pewnego otoczenia punktu p₀ zachodzi nicrówn' fI p>< f<p₀), czyli

^def \ / A

< t ma maksimum lokalne w p₀) V    /\ ftpi< f(p₀j.

Ilpj pc(J(p_f i

Analogicznie definiujemy minimum lokalne:

def

( ł ma minimum lokalne w p₍₁) o V    /\ f(p)>f(p„)

tJipj peiii p„>

W szczególności jeżeli dla każdego peU(p₀)-|p_u} zachodzi nieró nosć ostra; f( p> < f(p„) lub f(pi> f(p„), to mówimy o maksimum lub minimum lokalnym właściwym funkcji f w punkcie p₀.

Jeżeli funkcja ł jest określonu nu pewnym zbiorze DcK^:, p czym p„ f D oraz

A f(p)<t(p₀)

peD

A f(p^fip,j,

oeD

lub

to mówimy, że funkcja f ma w punkcie p₀ odpowiednio maksimum iib-sulutnc lub minimum absolutne na zbiorze D.

lak więc maksimum (minimum) absolutne oznacza po prosi' największą (najmniejszą.) wartość funkcji na rozpatrywanym zbiorze.

Wykazuje się. ze funkcja ciągła na obszarze domkniętym • ograniczonym usiągj na tym obszarze minimum i maksimi absolutne (własność Wcierstrassa funkcji ciągłych).

Na rysunku 6.1. przedstawiony jest wykres funkcji mającej w punkcie p„ maksimum lokalne, które jest jednocześnie maksimum a‘ lutnyni tej funkcji.

Oczywiście nic zawsze ekstremum lokalne jest ekstremum ab: lutnym, ani tez odwrotnie - ekstremum absolutne nic musi być ckstr mum lokalnym. Jeżeli jednak ekstremum absolutne jesi osiągane W

punkcie wewnętrznym dziedziny, to jest ono jednocześnie ekstremum lokalnym.

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Załóżmy, ze funkcja f zmiennych x i y jest określona na pewnym otoczeniu punktu Po = (x₀,y„)-

TWIERDZENIE 6.1. Jeżeli funkcja f ma w punkcie (x„,y₀) pochodne cząstkowe i ma w tyin punkcie ekstremum lokalne, to

f£(x₀»y₀)=o ¹ ę(*o«>o)^a°-

Dowód Ponieważ funkcja f ma w punkcie (x₀,y₀) ekstremum. więc funkcja zmiennej x: <p,(x) = f(x.y₀) w punkcie x₀ oraz funkcja zmiennej y: <p_:(y)= ffj^.y 1 w punkcie y₀ mają również ekstrema (por. rys 6.2.). Zatem

tp!(x₀)=f₁^,(x₉,y_o)-0 oraz <p*₂(y₀) = f_v*(x_o.y_o) = 0. co kończy dowód.

<fe:y) - t(xo.y)

2