MATEMATYKA071

134 ID. Rachunek różniczkowy

FUNKCJE KLASY C°. Funkcję f, która ma ciągłe pochodne do n-tego rzędu włącznie na przedziale (a,b) nazywamy funkcją klasy C" na tym przedziale, a funkcję mającą pochodne dowolnego rzędu nazywamy funkcją klasy C' na tym przedziale

Funkcje ciągłe na przedziale (a,b) nazywamy funkcjami klasy C° na tym przedziale

Na przykład: a) funkcja f(x) = xe ^1,4 jest funkcją klasy C" na

zbiorze R; b) funkcja f(x) = ^x' jest funkcją klasy C‘ na zbiorze R. gdyż dla dowolnego x eR istnieją i są ciągle pochodne f'(x) i f"(x).

Natomiast f"'(x) = ™ x ³ nie jest określona dla x = 0.

RÓŻNICZKA FUNKCJI Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowana na pewnym otoczeniu punktu x₀. Niech Ax oznacza dowolny, różny od zera, przyrost argumentu.

Różniczkę funkcji f w punkcie x₀ dla przyrostu Ax oznaczamy symbolem df(x₀,Ax) i określamy wzorem

df(x₀,Ax) = f'(x₀)Ax,

a różniczkę funkcji f w dowolnym punkcie x tego otoczenia dla przyrostu Ax zapisujemy: df(x, Ax) = f'(x)Ax

lub krócej: df(x) = f'(x)Ax.

Interpretację geometry czną różniczki przedstawia rysunek 3.5.

Rys 3.5

Na przykład dla funkcji y = cosx mamy

dcosx = -sinxAx, xeR,

a dla funkcji tożsamościowej y = x otrzymujemy dx = Ax.

Ostatnia równość pozwala na stosowanie zapisu:

df(x) = f'(x)dx

Przy założeniu, że f'(x₀) * 0 łatwo wykazuje się, że

Ax *0A!

skąd wynika, że dla dostatecznie małych przyrostów Ax argumentu przyrost funkcji Af = f(x₀ + Ax) - f(x₀) można zastąpić różniczką:

Af *df.

Stąd otrzymujemy wzór przybliżony

f(x₀ + Ax)»f(x₀) + f'(x₀)Ax. gdy f'(x_o)*0.

Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu drugiego w otoczeniu punktu x₀, to różniczkę rzędu drugiego funkcji f w punkcie x₀ dla przyrostu Ax

oznaczamy symbolem d^:f(x₀, Ax) i określamy wzorem:

d^:f(x₀,Ax) = f"(x„)(Ax)².

Analogicznie definiuje się różniczki wy ższych rzędów'

PRZYKŁAD 3.10 Obliczymy przybliżoną wartość funkcji f(x) = Vx w punkcie x = 27,03.

1 -²

Ponieważ f(x) = Vx, f'(x) = -x *, x₀ = 27, Ax*0,03 oraz f(x₀ + Ax)*f<x₀) + f'(x_n)Ax, więc f(27,03)*f(27) + P(27)0,03, czyli

^27.03*3+^ 0,03*3,001

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

Naszkicować wykres funkcji f. która spełnia warunek:

a) w punkcie x = -1 ma pochodną równą 0;

b) w punkcie x = 2 ma pochodną równą -1;

c) jest ciągła w punkcie x = 1, ale mc ma pochodnej w tym punkcie.