Obraz5

150

Rozdział 6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmit

0.3. Znaleźć pochodną (jeśli istnieje) funkcji f(x) — [rc + 1| w punkcie x oraz w punkcie x — 0.

6.4.    Posługując się definicją pochodnej (definicja 6.1) sprawdzić różniczkowały ność funkcji:

dla 0 ^ x < 2, dla — 1 ^ x < 0,

b. f(x) — y/l- e~^x2 w punkcie x = 0.

6.5.    Zbadać różniczkowalność funkcji w punktach x — 1 oraz x ~ —1:

x    dla |x| ^ 1,

a. f(x) =

w punktach x = 0, x = ^ oraz x — 1,_:

/(*) =

| sgnx dla |xj > 1.

6.6. Zbadać różniczkowalność funkcji oraz znaleźć jej pochodną w punkt w których jest różniczkowalna:

f{x)

f(x)

x\x\ |x| -

a.    /:

b.    /:

c.    f:

f(x) =

x sm 0

dla x -fi 0, dla x — 0.

IR określonej wzorem^

6.7.    Znaleźć równanie stycznej do funkcji /: 1R⁺ f(x) ln | w punkcie x = e.

^daneb#l

6.8.    Znaleźć punkt, w którym styczna do wykresu funkcji /: wzorem f(x) — e^x jest równoległa do prostej y — x.

" -kfsid

6.9.    Niech funkcje f,g: R —> M będąróżniczkowalne w każdym punkcie.

din.n /([) - 2, /'(1) = 3, /'(2) = -1, /'(0) - -3 oraz $(3) = 0, </(2) = -2,:® //'((»)    7, f/(3) = 2. Obliczyć (5 o /)'(!), (/ o p)'(3), (/ o /)'(!), (9 ° p)'(3|5B

Obliczyć pochodne poniższych funkcji, zakładając, że argument należy dq||! dziedziny rozważanej funkcji;    ' jm

r.7.3

6.10.    f(:u) — jx⁵ + 7x° + X + 7t.

6.11.    J(x) «= 20 00x²⁰⁰³ + 4x²⁰⁰¹.

6.12.    f(x) — 3.x¹⁰⁰ — gjTńrr -I- 3e.

6.13.    f(x) = 5CC²⁰⁰ + |x¹⁰⁰ + Jx 4-1.

6.14.    f(x) = ^x⁵ + |x⁴ + |x³ +    + x + aretg

/ni Itmui

i,¹"" iii'^J i i

DII

-    + tg®-

6.38.    f{x)

6.39.    f{x)

6.40.    f{x)

6.41.    f(x)

6.42.    f(x)

6.43.    f{x)

6.44.    f{x)

6.45.    f{x)

6.46.    f{x)

6.47.    /(:r)

6.48.    /(rc)

6.49.    f(x)

6.50.    f(x)

6.51.    f{x)

6.52.    /(cc)

6.53.    /(x)

6.54.    f{x)

6.55.    f(x)

6.56.    f{x)

6.57.    f{x)

6.58.    f{x)

6.59.    f{x)

6.60.    f{x)

6.61.    f{x)

6.62.    f[x)

= ln

151

\/sir? x 4- i•

3 arc sin x. x° arctgx. sinx arcctgx. e*"" arc sinx.

= ln(3x) sin5x.

—    e¹'² lnx.

= cos² x arc tg x.

—    arctg²xlnx.

= ln(x² 4- 1) sin x.

= arc cos (x² - 1) tg (2.r). = ctg³xln(x⁴ 4- x² 4- 1).

_ 1—sin x H-sin x'

_ 1— x²+x'^{1 2} 1+1“+£⁴ "

_ 1 + arc tg x

1—arc tg o:'

_ l+tg²x 1+ctg ²X '

_ 1+arc tg (3x)

1

1+arc c tg (3x) ’

_ x+arc sin ²x £—arc sin ’²x '

—    l±s!l

2

—e-² *

l+x i— x'

sin 2a

_eix *

s-9*

£+9* ‘

ln z+sin⁸ x Ina;-sin² x ’

sin² 3x. cos³ 2x.