Pochodne1 jpeg

150 Rozdział 6. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmierm

6.3. Znaleźć pochodną (jeśli istnieje) funkcji f(x) = \x + 1| w punkcie x = oraz w punkcie x — 0.

6.4. Posługując się definicją pochodnej (definicja 6.1) sprawdzić różniczkowi ność funkcji:

a. /(x)

dla

dla

0 < x < 2, — 1 ^ x < 0,

1

w punktach x = 0, x = | oraz x — 1J

b. /(x) = v 1 — e~^x2 w punkcie x = 0.

6.5.    Zbadać różniczkowalność funkcji w punktach x = 1 oraz x — — 1:

\x    dla |x| ^ 1,    |

/(*) = \ _x3 ,    2

^Tr + |sgnx dla |x| > 1.    j

6.6.    Zbadać różniczkowalność funkcji oraz znaleźć jej pochodną w punktad w których jest różniczkowalna:

a.    /: R —> R, /(x) = x|x|,

b.    /: R —> R, /(x) = |x| — x,

c.    /: R —► R,

dla x / 0, dla x = 0.

/w=l:^sin-

6.7.    Znaleźć równanie stycznej do funkcji /: R+ —> R określonej wzoca /(x) = ln | w punkcie x = e.

6.8.    Znaleźć punkt, w którym styczna do wykresu funkcji /: R —► R da* wzorem /(x) = e^x jest równoległa do prostej y — x.

6.9.    Niech funkcje /, g: R —» R będą różniczkowalne w każdym punkcie. Maa dane /(1) = 2, /'(1) = 3, /'(2) = -1, /'(0) = -3 oraz g(3) = 0, g'(2) = -s'(0) = -7, </(3) = 2. Obliczyć (g o /)'(1), (/ o p)'(3), (/ o /)'(1), (g o g)'fl

Obliczyć pochodne poniższych funkcji, zakładając, że argument należy J dziedziny rozważanej funkcji:

6.10.    /(x) = |x⁵ + 7x³ + x + 7T.

6.11.    f (x) = 2000x²⁰⁰³ + 4x²⁰⁰¹.

6.12.    f(x) = 3x¹⁰⁰ -    + 3e.

6.13.    f(x) = ±x²⁰⁰ + Ix¹⁰⁰ + \x + 1.

6.14.    /(x) = gx⁵ + |x⁴ + |x³ + ^x² + x + arc tg