MATEMATYKA067

126 ID. Rachunek różniczkowy

TWIERDZENIE 3.4 (podstawowe wzory), (I) (c)' = 0,    ( c = const ),

(2) (sinx)'=cosx,	xeR,
(3)    (cosx)' = -sinx, (4)    (|gx)- = -L-, COS X	xeR, x*~+kn, keCt
(5) (ctgx)’ = —Ą-, sur x	x*kx, k eC,
(6) (aresinx)'=^J—,	xe(-i,l),
(7) (arccosx)' = --^-^> ■ ,	X €(-1,1),
(8) (arctgx)' = — l+x	xeR,
(9) (arcctgx)' = ———y, 1 + x“	xeR,
(10) (lnx)'=I	xeR„
(ID dog.x)'=xia.	xeR,, aeR, -{1},
(12) (e*)'=e^x,	xeR,
(13) (a^xV«a^xlna,	xeR, aeR*-{l},
(14) (x^a)' = ax“"'. Dowody niektórych wzorów:	aeR, xeR,,

Dowód (6): Funkcja y = arcsinx, x €< -1,1 >, jest funkcją odwrotną względem funkcji x = siny, y €<-*przy czym

(sin y)' = cosy * 0 dla y €(-—,*). Stąd dla x e(-l, 1) mamy:

(arcsinx)' =

więc cosy

Zatem

(sin y)' cosy

■ ♦^/l-sin²y 1 = - j * ,    =-t-^

^J ^1-sin‘y vl-

= |cosy»±^l-sin²y. i»k y«(-y,y).

(arcsin x)' =

Dowód (8): Funkcja y = arctgx, x e R, jest funkcją odwrotną

do funkcji x = tgy, y <={-%,%), przy czym (tgy)'=—*0 dla

Z Z    COS V

cos y

każdego y z tego przedziału. Zatem dla każdego x e R mamy: (arctgx)' - -    = cos² y =

(tgy)

l + tg²y 1 + x

2 •

D o w ó d (10): Zgodnie z definicją pochodnej dla funkcji f (x) = In x dla dowolnie ustalonego x > 0 mamy

f '(X) = hm    +    ₌ |,_m M^Ax)-ln(x)

Ax-»0    Ax    Ax-»0    Ax

Przekształcimy iloraz różnicowy:

ln(x + Ax)-ln x _ 1 . xtAx ^ l|_n/_{1 +}

Ax    Ax x x    x

Ax

i —

Niech Ax -> 0 + . Wówczas lim = +^{00 oraz} Jim (1 +-)^A* = e.

Ax »0* Ax    Ax-*0*    x

Ax

Niech Ax-*0-. Wówczas lim —* = -<» oraz lim    =e.

Ax-*0- Ax    Ax-*0    x

Ax

Zatem

lim (I h—^—)^AM = e

Ax-»0    X

Ax

i w konsekwencji