MATEMATYKA096

IK4 DL Rachunek różniczkowy

Obecnie podamy podstawowe informacje o funkcjach określonych parametrycznie i na przykładach pokażemy badanie przebiegu zmienności funkcji w tym przypadku Ogólniej: pokażemy w jaki sposób badamy krzywą określoną równaniami parametrycznymi

X = x(t), y = y(t), teT.

Przejście od równania jawnego y-f(x) do równań parametrycznych krzywej jest łatwe i może być wykonane na wiele sposobów. Najprościej krzywą y = f(x), xeJ można zapisać równaniami parametrycznymi postaci; x = t, y = f(t), tej.

Przejście od równań parametrycznych do równania jawnego polega na wyrugowaniu parametru z równań parametrycznych i w rezultacie znalezieniu bezpośredniego związku między- x i y . Czasem jest to łatwe, czasem trudniejsze, ale bywa również niemożliwe.

PRZYKŁAD 8.5

a)    Równania parametryczne

x = 1 -1, y = 2 + t, te(-oo,+oo) określają prostą o równaniu

y = 3-x, x e(-x,+oo).

Te same równania dla te<—1,2 > określają odcinek tejże prostej o końcach A(x(-l),y(-l)) i B(x(2),y(2)), czyli A(2,l) i B(-l,4).

b)    Równania

x = 3cost, y = 2sint, t€<0,27t> są równaniami parametrycznymi elipsy

<3^)J+(2^{)J = 1}

c)    Równania

x = 2cost, y = 2sint, te<0,27t>

określają okrąg

x² + y* = 4.

Natomiast te same równania dla t e< 0, tc > są równaniami "górnego” półokręgu: y = V4-x².

d) Równania

x = t-sin t, y = 1 - cos t, teR

określają krzywą zwaną cykloidą (por przykład 8.7 i rys 8.5). Efektywne wyrugowanie z tych równań parametru t jest możliwe, ale dosyć kłopotliwe (drugie równanie można wprawdzie rozwiązać ze względu na t, ale trzeba je rozważać kolejno w przedziałach < kji,(k + l)7t >, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą)

c) Przejście od równań parametrycznych

x = t-cost, y = t² - In t, te(O_łjt) do równania jawnego y = f(x) jest praktycznie niemożliwe. Natomiast teoretycznie - tak Funkcja x «cp(t) = t - cost jest funkcją rosnącą na przedziale (0,7t), zatem istnieje funkcja odwrotna do niej t = cp '(x), gdzie x eX = (-1,1+7i). W konsekwencji otrzymujemy równanie krzywej w postaci

y = (<P '(^x))² “ ln(<P (x)),

czyli równanie jawne postaci y = f(x), xeX.    ■

Załóżmy, że dane są funkcje (8.1)    x = x(t), y = y(t), teT

klasy C' na przedziale T, przy' czym x'(t)*0 dla t eT. Wówczas funkcja x(t) jest ściśle monotoniczna (a więc różnowartościowa) na przedziale T i istnieje funkcja odwrotna do niej t = t(x) dla xeX, gdzie X jest przcciwdzicdziną funkcji x(t). Stąd otrzymujemy

y = y(t(x)), x eX,

czyli równanie jawne postaci y = f(x), xeX. Mówimy wtedy, ze równania (8.1) określają parametrycznie funkcję y = f(x) (równania (1) są równaniami parametrycznymi ftinkcji y = f(x)).

Korzystając z twierdzeń o pochodnej funkcji /łożonej i o pochodnej funkcji odwrotnej łatwo otrzymujemy

(«2>