24170 MATEMATYKA069

130 Dl. Rachunek różniczkowy

0 (arctg³2x)' = 3arctg²2x ——__6arctg²2x

^l+4x²    l+4x²

g) (ln(x+V4+x²))'a--1-(U—_)    >_.    ■

* + v4 + x‘    2V4 + x² v4 + x²

PRZYKŁAD 3.5 Obliczymy pochodne funkcji:

a)y = x^UMX. x>0,    b) y = (Inx)^x, x> 1

Przy założeniu, że f(x) > 0 mamy:

(f(x))*^(x>_He*^(x)lnf(x).

Zatem:

a)    (X™*)' = (e“^sxl"X)' = _e“^>sxlnx(cosxInx)' =

= x°^osx(-5inxln x + ^cosx);

b)    ((lnx)^x)' = (e^xta,nx)' = e^xln,nx(xln ln x)' =

= (lnx)^x(!nlnx + j^).    ■

P R Z Y K Ł A D 3.6 Funkcje określone wzorami:

sinhx= l(e^x-e^_x), xeR; coshx = ^(e^x + c *), xeR

nazywamy funkcjami hiperbolicznymi: sinusem hiperbolicznym i cosinuseni hiperbolicznym. Obliczmy ich pochodne:

(sinh x)' = | (e* - e *)' = -(e^x + e“^x) = cosh x,

(cosh x)' = I(e^x + e"^x)' = \ (c^x - e ^x) = sinh x.    ■

Łatwo również sprawdzić, że dla tangensa hipcrboliczncgo i cotangensa hiperbolicznego określonych wzorami:

_{tghx =} iinhx, _{xeR ctghx =} ęo^x ₀

cosh x    ° sinh x

istnieją pochodne w dowolnym punkcie dziedziny, przy czym

(tghx)' = —jj-.    (ctghx)' = —i-—,

cosh x    sinh x

Wykresy funkcji hiperbolicznych przedstawione są na rysunkach 3.3 i 3.4.

Dodajmy, że krzywa o równaniu y = a cosh — nazywa się linią

a

łańcuchową (ma kształt jednorodnego łańcucha zawieszonego w dwóch punktach).

Natomiast równania parametryczne:

x = acosht, y = bsinht, teR,

x² y²

określają hiperbolę —=— -f-r- = 1. Rzeczy wiście, a‘ b

— ■J-y = cosh⁷1 - sinh^: t = -j (e¹ + e ‘)²--j(e‘-e ‘)² = 1. a b    4    4

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Jeżeli pochodna    f'

funkcji f jest różniczkowalna na zbiorze X, to jej pochodną nazywamy pochodną rzędu drugiego (drugą pochodną) funkcji f i oznaczamy d²f

symbolem f" lub —-y. Zatem dx