MATEMATYKA068

128 ID Rachunek różniczkowy

A* »0

Ax »0 X

X

Ax

Oznacza to. że pochodna funkcji In istnieje dla każdego x > 0, przy czym

<1.0-4

D o w ó d (11): Ponieważ

^{lo8,x =} Tna' ^x6R - ^aeR.-{U.

więc dla dowolnego x > O mamy:

^{(,0Ł x)}’⁼⁽ufi^{ta x)}’⁼i^(ln x>'=inb

D o w ó d (12): Funkcja y = c* jest funkcją odwrotną do funkcji x = lny, przy czym (lny)' = ~*0 dla każdego y>0. Zatem dla dowolnego x € R mamy:

(Iny)'

(O’ ⁼ 7n~rr⁼ y ^{= e}*

D o w^r ó d (14): Ponieważ

x^a = e^aln*, xgR₊, a gR,

więc

(x“ )' = (e^abłx)' - { iw. o poch funkcji złożonej } =

= e^ak“(alnx)' = x“a- = ax^a-¹

X

Dodajmy, że przy zmienionym założeniu o wykładniku a można rozszerzyć dziedzinę funkcji y = x“ Na przykład przyjmując, że a jest

O

liczbą wymierną postaci a = —, gdzie c oznacza dowolną liczbę

n

całkowitą, n - liczbę naturalną nieparzystą, funkcję y = x^a można rozpatrywać w zbiorze R {()}. W tym też zbiorze istnieje jej pochodna określona wzorem (14). Oczywiście nic można w ty m przypadku dla x < O stosować przedstawionej wyżej metody dowodu.    U

PRZYKŁADY OBLICZANIA POCHODNYCH

PRZYKŁAD 3.2 Zakładając, żc funkcje f, g, h są funkcjami różniczkowanymi dla x e X, a C oznacza dowolną stałą, mamy;

a)    (Cf(x))' = (C)'f(x)+Cf'(x) = Cf'(x);

b)    (f(x)g(x)h(x))'■ f'(x)g(x)h(x)-f f(x)(g(x)h(x))' =

= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x).    ■

PRZYKŁAD 3.3 Obliczymy pochodne, a) (x²c^x+3cosx)' = 2xc^x+xV- 3sinx; i

b)    (Vxarcsinx)' =

c)    (2^x-x^łcosx)' = 2^xln2-3x²cosx + x³sinx;

d)    (x⁵c^x sin x)' = 5x⁴e^x sin x+xV sin x + x⁵c^xcosx;

w xlnx _ (ln x +1)(24-lnx)-łnx _ ln²jc+21nx+2 2 + lnx    (2+łnx)²    ~~ (2 + lnx)^{2 ;}

■—,—arcsinx+

2Vx    Vł-x²

sinx cosx(l+cosx) + sinxsinx i; irrz____) ^m—

1

l+cosx

(l+cosx)²

l+cosx’

g) (-£*-?*.)' = -■,, ² »(arctgx)^, = -₇ ^{2    1}

Vł + V3    V l + y/J

7i+J5~^l

•f X

2 •

PRZYKŁAD 3.4 Obliczymy pochodne;

a)    (cos^,x)' = 3cos²x(--sinx) = -3sinxcos²x;

b)    (c-^2,,BX)'=c ^2,inx<-2cosx);

c)    (Vl + lnx)' =

d)    (ln(arcsin3x))' =

c) (\J(\- xlnx)²)' = ~(|-xlnx) ³(-lnx-l);