MATEMATYKA063

118 111. Rachunek różniczkowy

Rysunek 2.2 stanowi ilustrację własności I, a rysunek 2.3 pokazuje, że funkcja nie musi mieć tej własności, gdy nic jest ciągła

WŁASNOŚĆ II (Darboux - o przymowaniu wartości pośrednich). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym < a,b >, przy czym f(a) * f(b) oraz w jest dowolną liczbą zawartą między f(a) i f(b), to istnieje co najmniej jeden punkt c €(a,b) taki, że f(c) = w.

Krótko.Junkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje każdą wartość /uśrednią między wartościami w końcach przedziału (rys 2.4).

W szczególności mamy:

Jeżeli fitnkcja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz f(a)f(b)<0, to istnieje co najmniej jeden punkt ce(a,b) taki, że f(c) = 0 (rys 2.5).

Funkcja, która nie jest ciągła na przedziale domkniętym, nic musi mieć własności Darbou*. co ilustrują rysunki 2.6 i 2.7.

Rys 2.6

Rys 2.7

WŁASNOŚĆ 111 (Wcicrstrassa - o osiąganiu najmniejszej i największej wartości). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a,b>, to jest ona na tym przedziale ograniczona, przy czym istnieją punkty c,,c₂ e< a, b > takie, że

dla każdego x e< a, b >.

Krótko: Funkcja ciągła na przedziale domkniętym Jest ograniczona i osiąga na tym przedziale swoją najmniejszą i największą wartość (rys 2.8).

y-f(x|

Rys 2.8

Rys 2.9

Funkcja określona na przedziale domkniętym, ale mająca punkty nieciągłości w tym przedziale, nic musi mieć własności Wcicrstrassa, co ilustruje rysunek 2.9.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

U Naszkicować wykres funkcji f i podać jej punkty nieciągłości:

x<0,

x2i0,

sinx, x£0, c)f(x)= ctgx, 0<x<y,

cosx,