MATEMATYKA088

168 111. Rachunek różniczkowy

PRZYKŁAD 6.1 Wyznaczymy przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty' przegięcia krzywych:

a)y = xarctgx, b)y = xln‘x.

a)    Funkcja y = xarctgx jest określona dla x€(-oo,+oo), Obliczamy:

x    2

y' = arctgx+—_T,    y" = -—j-y, xeR.

l + x    (l+x )

Ponieważ y">0 dla x e(-oo,+oo), więc krzywa y = xarctgxjest wypukła na tym przedziale.

b)    Dla każdego x > 0 mamy:

y' = In² x + 21n x, y" = -(l+lnx).

X

Stąd

y" = 0 dla x = l, c

y">0 dla x>— oraz y"<0 dla 0<x<-.

e    e

Wyniki umieszczamy w tabeli:

X	0		l/e	.............+00
y"		—	0	+
		z' "\	PP

Krzywa jest wypukła na przedziale (l/e,+oo) .wklęsła na przedziale (0.1/c). a w punkcie x = l/e ma punkt przegięcia.    ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1.    Naszkicować wykres funkcji f określonej na przedziale < a, b >, dla której

a)    f'(x)>0 i f^M(x)>0 dla x€(a,b),

b)    f'(x)>0 i f"(x)<0 dla xe(a,b),

c)    f(a) = f(b) i f"(x)<0 dla xe(a,b).

2.    Naszkicować wykres funkcji f określonej na przedziale(a.b). której wy kres mc ma punktu przegięcia, przy czym f"(x)>0 dla xe(a,c)

i f"(x)<0 dla xe(c,b) oraz funkcja f w punkcie x=c a) jesl ciągła, b) nic jest ciągła.

3.    Naszkicować wykres funkcji f:R->R, dla której lim f(x) = +°°>

x ~> »

limf(x) —oo, lim f(x) = 2 oraz f"(x)<0 dla każdego x*l.

X—» I    X

4,    Naszkicować wykres funkcji f ciągłej na zbiorze R, dla której lim f(x)= 1, lim f(x) O oraz f"(x)>() dla każdego x*0.

X-*«*

5. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia _ ^-wykresów funkcji:

a) y = ln(4 + x²),

b) y =4x'-5x⁴ + 2x,

c) y=

h) y=

x² +x-2

x-2    ’

e) y =(2-lnx)lnx,

+3

g)y =—-2lnx,

^d)>'=^T2^cX'

O y=x-2arctgx,

x — 1

i) y = (6x² + 10x + 7)c~²\

j) y = x(ln²x-3lnx + l),

k) y= 0^7’    y ⁼ *ⁿ7~T ⁺ 2xarctgx

⁷ J 2 + lnx    1 + x

O d p o w i e d z i.

5. a) wklęsły dli x<-2 ora/ dla x>2. wypukły dla -2<X<2, p przeg dla x=±2. b) wklęsły dla x<3/4, wypukły dla x>.y4, p. pracg dla x« 3/4, c) wypukły dla x>2 wklęsły dla X<2, p pr/eg. nic nut, d) wklęsły dla x<-2, wypukły dla

'    a    '    1

x>-2, p przeg. nie ma, c) wypukły dln x>« , wklęsły dla (J<x<v . p przeg. dlii x»e^:; O wypukły dla x>0. wklęsły dla X<0, p przeg dla x=0. g) wypukły dla x>0. h) wklęsły dlu 0<x<5, wypukły dln x >5. p przeg dln x*5, i) wypukły dli X<0 ora/ dlu x> 1/3, wklęsły dla 0<x<l/3, p. przeg. dlii \-0, x-l/3.

j) wklęsły dln 0<x<>/e , wypukły dla x>ye, p przeg. dla x-Jć, k) wklęsły dla 0< x<c“² oraz dla x>l, wypukły dlu e * < x< I, p przeg dla X = I, 1) wklęsły dla 0< x < 1, wypukły dla X>1, p przeg. dla x * I