MATEMATYKA079

150 Ul. Rachunek różniczkowy

Uwaga. I.itera H umieszczona pod atakiem równości w powyższych przykładach oznacza stosowanie reguły de LUospitala

Reguła de L'Hospitala stosuje się pośrednio również do pozostałych symboli nieoznaczonych A mianowicie:

(1) Symbol nieoznaczony typu 0-oo sprowadzamy do symbolu

lub — stosując przekształcenie:

00

f(X)g(x)

₌ JM

góó

przekształcenie:

(2) Symbol oo-oo można sprowadzić do symbolu ~ stosując

1

1

f(X)-g(X)= >W -£&

f(x)g(x)

(3) Symbole nieoznaczone 0°, 1 *, »° sprowadzamy do symbolu 0 - oo stosując przekształcenie:

(f(x))^8(x> = e^8(x)lnf(x).

Istotnie, iloczyn g(x)lnf(x) jest w każdym z tych przypadków' symbolem nieoznaczonym typu Ooo.

PRZYKŁAD 4.8 Obliczymy granice:

2

a) lim xln^;x = {()<+oo)}= ii_{m    =} / — L lim -^iL-r- =

* *0»    *-*0* I | +00 J II x-*Of _ I

X    x‘

2

= lim    = i —— 1 = lim -^- = lim 2x = 0,

»-** I [ -00 J H x *0‘ l

x    _x²

b)    lim “C ={0(+oo)}= lim -^C—= { — 1 = lim —^— =

X-*-«°X    1 +00 j H x-y->k 2X

= lim

-e

-2x

f-|= >“

[ -00 J H x—»

2c'^u. ^

urn —j—=+oo.

0 lim(J--i) = {+oo-oo} = ,_im ™ j£) =

sinx x    x-«0. xsmx \ O j h

. l-cosx [Ol

= lim —-- { - V = Urn

* sinx + xcosx [OJ h x-v>*

smx

2cosx- xsinx

d) Hm (x²-lnx) = {oo-oo}= lim x^J(l-^) = +oo, gdyż

* »«•**    X-»*»    V*

0.

!nx (+ool    Z    1

lim—r- = < — } = lim ^-= lłm —-r = 0.

x-»»«> X² 1^ 4-00 j H x-v-oc 2x x—«2x

^c) l»m(lnx)* »={o°]=lime^(x“^,)ln‘^nK=eⁿ = l, gdvż

Iim(x-l)lnlnx = {0( -oo)} = lim 1

lnlnx

x—*1 •    1

X-1

=(—U

[ +O0 J II

= lim —= lim

X—*1+    1    x-»l*

±z2LJ£l = u

xlnx | O J m x-

im ^1=0. x-»i+ lnx+l

O lim (-¹ arcctgx)* ={r"}= lim c***"***^x) = e*, gdyż

K-f co TC    X

1

1    _f    . ln(~arcctgx)

lim xln(-arcctgx) = {(-oo)-Oj= lim —-

-    7t    x-* co    ¹

x-* ®

lim

u x >-«'(|+x²)arcclgx

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Naszkicować wykres funkcji, która nie spełnia przynajmniej jednego z założeń twierdzenia Lagrangc'a i dla której teza tego twierdzenia a) nic jest prawdziwa, b) jest prawdziwa