MATEMATYKA097

186 LU Rachunek różniczkowy

Zakładając, że funkcje x(t) i y(t) są funkcjami klasy C na przedziale T, przy czym x'(t) * O dla l €T otrzymujemy również wzór na drugą pochodną funkcji f:

(8.3)    rMjMO-yo,

Analogicznie, gdy y'(t)*Odla teT otrzymujemy, że równania parametryczne (8.1) określają funkcję x~g(y), y eY, przy czym (przy założeniu, że x(t) i y(t) są funkcjami klasy C^: na przedziale T) pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji g wy rażają się wzorami:

(8 4)    g-(y)«*3łl    „■■(„)= ^X_liMO

^{1    8tyj} y'(t) ^w . (y’(t))³

PRZYKŁAD 8 6 Niech

(I) x = t-$int. y = l-cost, t6(0,27c).

Ponieważ x'(t) = l-cost_ł y'(t) = sint, x'(t)*0 dla t 6(0,271), więc równania (1) określają parametrycznie funkcję y = f(x) dla x&X. Ponieważ x'(t)>0 dla x e(0,27t). więc X = (x(0),x(27i)) = (0,27c). Zgodnie z (8.2) i (8.3) mamy

f'(x) =

sin t

r"(x)=~

i

l-cost’ ' ^vv (1-cost)² Stąd, nie znając postaci funkcji f, możemy wnioskować, że jest to funkcja rosnąca, gdy t e(0,71) (wtedy x €(0,tc)). malejąca, gdy t e(7C, 2rc) (wtedy x e (7c,27t)), a jej wykres jest krzywą wklęsłą ■

Badanie krzywych określonych równaniami PARAMETRYCZNYMI Załóżmy, że krzywa jest dana równaniami parametrycznymi (8,1):

x = *(t), y = y(t). t€T.

Załóżmy, tc funkcje x(t) i y(t) są klasy C² na przedziale T. przy' czym x'(t) i y'(t) nic zerują się jednocześnie, czyli (x'(t))² + (y'(0) >0 dla t € T. Badanie krzy wej określonej parametrycznie sprowadza się wówczas do badania krzywych określonych równaniem jawnym postaci y = f(x) lub x = g(y) i możemy wykorzystać poznane wcześniej metody badania takich funkcji.

Jeżeli x₀eT i x'(x_o)^y'(T_o) = 0, to punkt P₀(x(T_<t),y(x_ft)) nazywamy punktem osobliwym krzywej i w tym przypadku może się okazać, że krzywej nic można na otoczeniu punktu P₀ przedstawić równaniem jawnym postaci y = f(x) lub x = g(y)

Jednym z elementów badania funkcji było znajdowanie asymplot wykresu Jak znaleźć asymptoty krzywej danej równaniami parametrycznymi? Z przyjętych wcześniej definicji asymplot wynika co następuje:

Jeżeli limx(t)-±oo    i limy(t) = a,

i >t₀    i *i_a

to prosta y = a jest asymptotą poziomą krzywej.

Jeżeli lim x(t) = a i limy(t) = ±oc,

l n₀    I »l_#

to prosta x = a jest asymptotą pionową krzywej.

i lim y(t) = ±co,

Jeżeli lim x(t) = ±oo

t-*t₀

oraz istnieją skończone granice

i n = lim(y(t) mx(t)),

l-*to X(t)    i-»Io

to prosta y = mx + n jest asymptotą ukośną badanej krzywej.

U w aga. Granica przy t -»t₀ może w powyższym być zastąpiona granicą przy t —> +oo lub t >• -cc.

PRZYKŁAD 8.7 Zbadamy krzywą daną równaniami (I) x = a(t sint), y — a(I cost), tc:R, gdzie a oznacza dowolnie ustaloną liczbę dodatnią

Ponieważ x(t ♦ 2tc) - 2na + x(t), y(t -ł 2n) - y(t), więc krzywa składa się z nieskończenie wielu luków, przy czy m każdy z nich można otrzymać z innego przez przesunięcie o wektor [2k7ta,0|. gdzie k oznacza liczbę całkowitą Stąd wynika, że badanie tej krzywej wystarczy' przeprowadzić jedynie dla t €< 0,27C >.

Obliczamy pochodne

x'(t) - a(ł-cost), y' = asint