MATEMATYKA064

120 UJ Rachunek różniczkowy

2. Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie x₀: x²-2x

, x*2

a) f(x)»^ |x-2| * '

-2,    x = 2

l-x-2x², x<0 c'^x, x£0 *

2(x-ij2-x)

b) f(x) =

• c) f(x)

x-l

i,

I

x+e^{l x}.

3. Zbadać ciągłość funkcji 2x-l-V5+x^{1 2 3}

a) f(x)=

x-2

4

3’

x„ = 2; Xo=°;

x < 1

x= 1 , x₀ = l.

X > I

x*2,

x=2,

b) f(x) =

xe\

0,

x + Vx

x<0,

x = 0,

x>0.

4. Znaleźć wartość parametru a, dla której funkcja f jest ciągła: sin2x

a) f(x) =

3x

a.

x*0, x = 0,

b)f(x) = l^2arc,8—^X<1’

ax, x>l.

Odpowiedzi.

2 a) lim f(x)»-2, lim f(x)»2; funkcja nicjcsl ciągła w x₀«»2, x-*2-    x-*2*

b)    lim f(x)- lim f(x)»1»f(0). funkcja jest ciągła w x₀sO,

c)    lim f(x)«3, lim f(x)«l;lunkcjn nie jest ciągła wx₀*l

X—*1    x »H

^ a) Ciąglu dla każdego xeR, b) ciągła dla każdego x * 0. 4 a)a»2/3, b)a = x.

3. POCHODNA FUNKCJI.

POCHODNA FUNKCJI Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x₀. Niech x = x₀ + Ax będzie dowolnym, ale różnym od x₀ punktem tego otoczenia i niech Af = f(x₀ + Ax)-f(x₀).

Af nazywamy przyrostem funkcji f między punktami x_{> i x₀ + A\, a iloraz

Af _ f(x₀ + Ax)-f(x₀)

Ax    Ax

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f dla punktu x₀ i przyrostu Ax.

Jeżeli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego przy Ax -> 0, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ i

Hf

o/naczamy symbolem f'(x₀)lub ^(x₀). Zatem

f'(x„) = lim

° Aa .0    AX

Jeżeli granica taka nie istnieje, to mówimy, że pochodna funkcji f w punkcie x₀ mc istnieje

Funkcję jednej zmiennej rzeczywistej, która ma pochodną w punkcie x₀ nazywamy funkcją różniczko walną w tym punkcie Iloraz różnicowy może być zapisany w postaci:

_J(x)=iMr£&)_>

a wtodv

1

   Naszkicować wykres funkcji f:<a,b>-»R, która mc ma własności Darboux.

2

   Naszkicować wykres funkcji f: < a, b > —► R, która nic jest ciągła w punkcie x₀ e(a, b), ale ma własność Darboux na przedziale< a,b >.

3

   Naszkicować wykres funkcji określonej na przedziale < a, b >, która ma punkty nieciągłości w tym przedziale oraz a) mc osiąga na t\m przedziale wartości najmniejszej ani wartości największej ( nie ma własności Wcicrslrassa), b) osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą i największą (ma własność Weierstrassa).