MATEMATYKA083

158 UJ. Rachunek różniczkowy

X	“00......	0		1	......400
f'(x)	+ .		-	0	4-
f(x)		0		-3
fjest rosnąca na przedziałach (~oc»0) oraz (					,+cc) , a ma

przedziale (0,1) Funkcja ta ma maksimum lokalne w punkcie x = 0. przy czym f(0) = 0 oraz minimum lokalne w punkcie x-l. przy czym f(l)=-3 . Wykres funkcji f przedstawia rysunek 5.6.    ■

PRZYKŁAD 5.2 Wykażemy, że dla każdego xeR zachodzi nierówność:

ln( 1 ł x^J)< 2xarctg\

Niech

f(x)= ln(l + x²)-2xarctgx, xeR.

Wówczas

f'(x) = -2arclgx, xeR.

Łatwo widać, że f'(x) 0 dla x = 0, f'(x)>0 dla x<0 oraz f'(x)<0 dla x>0. Stąd wynika, że funkcja f jest rosnąca na przedziale (-oo,0), malejąca na przedziale (0,+oo), a \y punkcie x = 0 funkcja ta ma maksimum lokalne, przy czym f(()) = 0.

Zatem wartość funkcji f w punkcie x = 0 jest największą wartością tej funkcji na zbiorze R Wynika stąd. /e dla każdego x c R

f(x)!Sf(())--0.

czyli

ln(l + x²) - 2x arctgx £ 0.    ■

TWIERDZENIE 5.3 (II warunek wystarczający) Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie róźmczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x„ oraz

I) f'(x_o) = 0,    2) f”(xj*0, 3) f" jest ciągła w punkcie x₀,

to funkcja f ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum, gdy f"(x₀)<0 lub minimum, gdy f"(x_u)>0.

Dowód. Załóżmy, żc f"(x_n)<0. Z ciągłości f" w punkcie x₀ oraz twierdzenia o lokalnym zachowaniu znaku wynika, ze istnieje takie otoczenie U(x₀) punktu x₀, żc f"(x) < 0 dla każdego x fiU(x_B), Niech x będzie dowolnym, ale różnym od x„ punktom tego otoc/.cma. / twierdzenia Taylora (n = 2) wynika, żc istnieje taki punkt c. pośredni między x i x₀, źc

f(x)= f(x₀)'+f'(x₀j(x-x₀)+ -f"(c)(x-.-x₀)\

Stąd uwzględniając, żc f'(x₀) = O_t f"(c)<0 (gdyż ceU(x₀)) oraz (x - X₀)' > 0 dla x x„, mamy

f(x)-F(x„) = if"(c)(x x,,)² < 0

Wykazaliśmy więc, że f(x)- f(x₀) < 0, czyli f(x) < f(x<.) dla każdego x gU(x_ii)-{x₀). Oznacza to, żc funkcja f ma w punkcie x_{1 maksimum lokalne właściwe.

W przypadku gdy f"(x₀) > 0, dowód przebiega analogicznie. I

TWIERDZENIE 5.4 (uogólnienie II warunku wystarczającego). Jeżeli funkcja f jest n-krotnic różniczkował na na pewnym otoczeniu punktu x₀ oraz

1)    f'(x₀) -...- f⁰¹ "(x₀) = 0,

2) (^<l'\x_o)*0 , przy czym n jest liczbą parzystą,

3)    f‘° jest ciągła w punkcie x₀,

to funkcja f ma w punkcie x„ ekstremum lokalne właściwe Jest to maksimum, gdy f^,n)(x₀) <0 lub minimum, gdy f ^nl(x_D) >0.

Uwaga. Wykazuje się, żc:

Jeteh P(x₀) =...=    * 0 oraz f'ⁿ⁾(x₀) * 0. przy czym

n Jest liczbą nieparzystą, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie x₀.

PRZYKŁAD 5.3 Korzystając z II warunku wystarczającego znajdziemy ekstrema lokalne funkcji.

a) f(x)-(x² + l)arctgx-^x^: - x, x€R,