MATEMATYKA085

162 Ul Rachunek różniczkowy

(

Naszkicować wykres funkcji f: R -> R mającej maksimum lokalne w punkcie x = -2 oraz minimum lokalne w punktach x -1 i x = 0, przy czym granica tej funkcji przy x - >-oo, x-»+oc i x->0 jest równa +<x>.

/Wykazać, że funkcja y = y(x) mc ma ekstremów lokalnych, gdy:

a) y =

x⁴+x² -3

b) y = c

Vx-

°)y = -rr-.

Vx^Ł+3x-4

d) y = ln—r^~, e) y = c^-<*"^l)*.    0 y = 4-“5x+9ln(x + !).

x - 3x    *

x X +1

•s_^ X^3 a) y~~—Tt X -1	.v x-1 . X ^b)y=wr ^c)y=^-
lnx d)y=—> X	_ 2 e) y = xV*\ 0 y=xe ^x,
x^1+x+l
g)y=e ^X+1 ,	^h)>=i-inX' ^l)y=^b-
x‘ +3 j) y- x 21nx,	k) y = 2\/4x-x^: -arcsin-^X-~,
1) y = 2arctgx + l/x,	1) y = ln^3x-3ln^:x-l.
m)y = ln(l + l/x^r),	n) y = x^3+3x^2- 12x+241n(x + 2),
o)y=lj(x-\)^2e\	p) y = 2x^3-9x^2+6x+6ln(x-l).
7. J Wykazać, źe
a) lnx<x dla x>0.	b)sinx£x dla x€<0.ir/2>,
c) j~Sln(l+x)^x	dla x>-l

Znaleźć ekstrema lokalne funkcji korzystając z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum:

a)    y = 4sin'x+3sin‘x-6sinx_f x€(0,n),

b)    y*=4cos³x + cos²x-2cosx + l, xe(0,n),

c)    y = x² - 2(x³ - 3x)arctgx - 4ln( 1 + x²).

9 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji y=y(x) na wskazanym przedziale, gdy:

( ajy = \'-x⁾ + 2x-10. xe<-l,2>,

( b)y = x²c *, x €< -4,

2 “ x

c) y=arctg^_+x, xe<0,2>,

d)    y = cos^łx-sin‘x-3cosx, xe<0,2rt>,

e)    y = ln³x-3ln²x+2_t x€<c,c*>.

10 Wyznaczyć dziedzinę, obliczyć granice w punktach brzegowych dzie-—y dzmy, wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne, a następnie naszkicować wykres funkcji y = y(x). gdy:

X^2	x^ł X+1
lnx’	b)y=c ^x ,
i	lnx
xe^2 x,	^6 ' ^= l-lnx’

c) y

0y =

ln(l-x)

x-l

I

■Jx lnx

g)y

--VxV\    h)y = x^J-8ln(-x),    i) y = (2x-ll) V(x+2)²

Odpowiedzi

6 a) Malejąca na przed/ (-/*. 1).(-U),0.v3>, rosnąca na przędz:.(-ao,-V3), (>/3.-ł-»). max lok dla    min. lok. dlt x^VJ; b) rosnąca na

przędz <0.3), malejąca na przędz (3,+-*); inax. lok. dli x = 3; e) rosnąca na przed/ (_C,4«), malejąca na przędz.(0,1 ),(I.e); min lok. dla x=e; d) rosnąca na przed/. (O.Jć), malejąco na przed/ (s/ć,+*>), max lok. dla \» Jc ; e) rosnąca na przędz 1),(0.1). malejąca nu przed/.. (-1.0).(1,+*). m4X. lok. dla x=*l. min. lok dla X=Ó. 0 rosnąca na przędz (-»,-2), (0,+oe), malejąca na pr/edz (-2,0); max lok dla X—2, k) wwąca na przędz.(-*>,-2),(0.mo), malejąca na przed/. (-2,-1) ,(-1.0). max lok dla x = -2. min lok dla x-0, h) rosnąca na przed/.

(O.c).(e.c²). malejąca na przędz (e*,+»).mnx lok dla x«e². i) malejąca na

pr/edz (e,c^VJ), rosnąca nu przędz (e¹*.+«>» ^{mm bk} dln X-c¹’, j) malejąca na przed/. (0.3). rosnąca na przędz (3,+*). min lok. dln x^3, k) rosnąco na pr/edz. (0,3/2). malejąca na pr/edz (3/2,4), max.tdk.dla x-3/2. 1) rosnąca na przed/ <-oo,-1), (l.-r-ao), malejąca na pr/edz (-1,0) (O.l), max. lok dla x*-j, _mi„. lok. dla x-1.1) rosnąca na przędz.(0,1) ,(c²,+*>)♦ malejąca na przed/, (l,c²),