93106

In i. Śr. I rok, sent 2. I.i<>Iu nr. 10. Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Zad 0. Korzystając z jakiegokolwiek programu komputerowego wydrukuj wykresy funkcji dwóch zmiennych:

/(.T,.v) = sinO)cos(y) g(x,y) = e~^u'*^r)    h(.x,y) = x² + y² k(x,y) = x²-y¹

Zad. 1. Wyznacz dziedzinę funkcji i naszkicuj wykresy /(.r, v) = -Jy-x² +1 f(x,y) = ln(.v^: + 2y^: - 8)

Zad2 Oblicz pochodne cząstkowe 1 i II rzędu. Oblicz grad(f) w P(1,2)

/(*, y)=——    /(*, y) = ^e :,*^,v    /(*> y) = sin(.r) cos(v)

x+ y

Zad.3. Stosując wzór na różniczkę zupełną oblicz wartość wyrażenia i oszacuj błąd względny. Porównaj otrzymane wyniki z obliczeniami na kalkulatorze.

2^J0V^:    2 98^: +5.01^:

Zad.4* W kanale opizekroju trapezowym o podstawach a=150±5 cm, b=300±5 cm i napełnieniu h=125±10 cm plyrie woda z prędkością v=120± 10 cm/s. Oblicz natężenie przepljawi. Oszacuj błąd względny

Zad.5. Znajdź ekstrema lokalne funkcji

a)    f(x, y) = .rv - .r^! + 3.r - y¹ - y

b)    /(.r, v) = e^<'*^y)(.r^: +y^:)

Zad.5. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji

^a)    /(.yy) =    + y^: w prostokącie [-1,1 ]x[-2,2]

b) /(.v, y) = ,v^: + 2.vv + 2y^:    w prostokącie [0,1 )x[0,2]

c)    f(x,y)= x² +y² -12.r + 16y wkole x² +y² <.25

Zad.6. Niech A(1,1), B(2,3), C(0,0). Znajdź punkt P(x,y) leżący najbliżej wierzchołków ABC (tzn. suma kwadratów odległości pmrktu P od wierzchołków A, B i C jest najmniejsza).

Zad.7. Napisz równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z=2x² + y² w punkcie P(l,!,3).

Zad.8**. Wyprowadź wzory na współczynniki prostej regresji

Zad.9. Określ wymiary prostopadłościanu o zadartej objętości V, który ma najmniejsze pole powierzchni.

Zad.10. Oblicz objętość i pole powierzchni starożytnej amfory o wymiarach h=100±l cm, i=50±2 cm. Oszacuj błędy względne.

M. Chalfen