Matematyka 2 9

68 II Rachunek różniczka wy funkcji wielu zmiennych

Na rysunku 1.1 pokazane są pewne podzbiory przestrzeni R~ Zbiór A jest nieograniczony, a zbiory B i C są ograniczone.

ZBIORY OTWARTE i DOMKNIĘTE Niech (X.p) będzi dowolną przestrzenią metryczną. Przyjmujemy następujące definicje.

Otoczenie punktu p₀ o promieniu e. t>0, oznaczane symb lem U(p„.c). jest to kula o środku w punkcie p₀ i promieniu 8 Zatem U(p₀,e) = K(p_(l,e), czyli

U(Pn.E)= ipeX: p (p*pn) <*

Sąsiedztwo punktu p₀ u promieniu e, e>0, jest to zbi

S(p«,c)= U(p,„e)-{p₀}, czyli

S(p₀,e)^ {p eX: 0< p <p,p₀) < r.|

W przestrzeni R mamy więc:

U(x_0tc) — |xeR: |x-x₀i<£} =(x₀-e.x₀+ 8).

S(x_n,c)= Ix €R: 0<jx-x_oi<8> = (x₀-e,x₀)u(x₀,x₀ + e)

i jest to zgodne z wcześniej przyjętymi określeniami otoczenia i sąsiedztwa punktu w zbiorze R. Interpretację geometry czną otoczenia i sąsiedztwa punktu w R* i R- pozostawiamy Czytelnikowi.

Jeżeli promień otoczenia lub sąsiedztwa punktu p_n nie jest istotny w naszych rozważaniach, będziemy używać krótszego oznaczeni U(p₀) lub S(p₀).

Punkt p„eAcX nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A, gdy zbiór A zawiera pewne otoczenie tego punktu, to znaczy: istnieje otoczenie U(p₀) takie, że U(p₀)c: A.

Punkt p₀nazywamy punktem zewnętrznym zbioru AcX, gdy i st n i ej e otoczenie U(p₀) lego punktu, do którego nie należy żaden punkt zbioru A. to znaczy. Ze U(p₀)nA =0.

Punkt Po nazywamy punktem brzegowym zbioru A<zX, gdy k a Z d c otoczenie tego punktu zawiera co najmniej jeden punkt należący do zbioru A i co najmniej jeden punkt do tego zbioru me należący.

Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru nazywamy brzegiem tego zbioru

Punkt p, nazywamy punktem skupienia zbioru AcX, gdy każde otoczenie tego punktu zawiera co najmniej jeden, różny od p₀, punkt zbioru A.

Punkt p_n należący do zbioru A, który nie jest jego punktem skupienia, nazywamy punktem izolowanym lub odosobnionym tego zbioru.

Z podanych określeń wynika, ze punkt brzegowy oraz punkt skupienia zbioru mogą. ale nie muszą do lego zbioru należeć.

PRZYKŁAD 1.1.

a)    W przestrzeni R^: weźmy pod uwagę odcinek osi odciętych:

A = {(x,y) eR^:: -1<x<l a y = 0|.

Z przyjętych wcześniej definicji wynika, żc każdy punkt zbioru A jest punktem brzegowym i jednocześnie punktem skupienia tego zbioru. Zbiór A nic ma punktów wewnętrznych.

Zauważmy, że ten sam odcinek może być traktowany jako podzbiór przestrzeni R*:

B = |xeR: -l<x<l|.

Wówczas każdy jego punkt, z wyjątkiem x = - I oraz x = 1, jest punktem wewnętrznym zbioru B. a punkty x = -1 i x=l są punktami brzegowymi tego zbioru Każdy punkt zbioru B jest punktem skupienia tego zbioru

b)    Niech A oznacza dowolne koło na płaszczyźnie bez okręgu tego koła. Każdy punkt zbioru A jest punktem wewnętrznym lego zbioru. Każdy punkt leżący na okręgu koła jest punkiem brzegowym, a każdy punkt koła A i każdy punkt leżący na okręgu tego koła jest punktem skupienia zbioru A.

c)    Załóżmy, że A jest podzbiorem przestrzeni R^: złożonym z dowolnej, ale skończonej liczby punktów. Taki zbiór nie ma punktów skupienia, ani też punktów wewnętrznych. Każdy punkt takiego zbioru jest punktem odosobnionym, a także punktem brzegowym tego zbioru.

■

Zbiór AcX nazywamy otwurtym w przestrzeni X, gdy każdy punkt tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym.