0301

302

V. Funkcje wielu zmiennych

Na rysunkach 92, 93 i 94 przedstawione są na przykład obrazy geometryczne funkcji z = xy, z = x² + y² ,    z = sfl—x² — y².

Pierwszy z tych obrazów jest paraboloidą hiperboliczną, - drugi paraboloidą obrotową, a trzeci — półsferą.

Na zakończenie zwróćmy uwagę na to, że niekiedy rozpatruje się zmienną x_m„ , której wartości ponumerowane są dwoma wskaźnikami naturalnymi min, z których każdy przebiega niezależnie od drugiego ciąg liczb naturalnych. Taka zmienna jest w pewnym sensie uogólnieniem ciągu {*„}.

Można na przykład przyjąć

(m + n)\    1    (m + l)n

^Xmn=~r^T ’    ^{Xmn = :}^W'    ^{Xmn =} m(n +1) ’

itp.

W gruncie rzeczy wskaźniki m i n należy rozpatrywać jako zmienne niezależne, a zmienny *m<i — jako ich funkcję. Obszar zmienności zmiennych niezależnych w danym wypadku jest zilustrowany geometrycznie przez swoistą siatkę punktów kratowych w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

161. Arytmetyczna przestrzeń n-wymiarowa. Przechodząc do funkcji n zmiennych (n^3) zatrzymamy się najpierw na układach wartości tych zmiennych.

W przypadku n — 3 taki układ liczb (jc, y, z), jak czytelnik sam rozumie, może być jeszcze interpretowany geometrycznie jako punkt przestrzeni, a zbiór takich trójek — jako część przestrzeni lub bryła geometryczna. Gdy jednak n > 3, nie ma już możliwości bezpośredniej interpretacji geometrycznej wobec braku intuicji przestrzeni o liczbie wymiarów większej niż trzy.

Tym niemniej pragnąc rozszerzyć metody geometryczne (które okazały się tak płodne dla funkcji dwóch i trzech zmiennych) również na teorię funkcji większej liczby zmiennych, wprowadzamy w analizie pojęcie przestrzeni n-wymiarowej także dla n>3.