0341

342

V. Funkcje wielu zmiennych

Na mocy wzoru (9) mamy więc

Y—-—=Y Y A — dt    ,ti da,_k dt ktl i=j “ dt

Zauważmy, że suma >    — daje rozwinięcie wyznacznika różniącego się od danego tylko tym,

i = i dt

że elementy jego k-tej kolumny są zastąpione przez ich pochodne względem t. Stąd następująca reguła: Pochodna wyznacznika ń równa się sumie n wyznaczników otrzymanych z ń przez zastąpienie kolejno elementów jego pierwszej, drugiej.....n-tej kolumny przez ich pochodne.

Wzór (8) jest podobny do wzoru u', = u'_xx', dla funkcji u jednej zmiennej x. Podkreślamy jednak znowu różnicę w założeniach, przy których były wyprowadzone te wzory. Jeśli u zależy od jednej zmiennej, to wystarczy założyć istnienie pochodnej «*; natomiast w przypadku wielu zmiennych musieliśmy założyć jeszcze ciągłość pochodnych u_x, u',, ... Następujące przykłady pokazują, że samo istnienie tych pochodnych na ogół nie wystarcza na to, by wzór (8) był prawdziwy.

6) Określmy funkcję «=/(*, y), przyjmując

_x¹y

/(*.j0=-5(dla x²+y²>0), x +y

/(0,0)=0.

Funkcja ta, jak widzieliśmy, ma pochodne cząstkowe we wszystkich punktach nie wyłączając również początku układu współrzędnych (0, 0), przy czym

m,o)=o, /;(0,0)=0.

Zauważmy, że właśnie w tym punkcie pochodne mają nieciągłość.

Jeśli wprowadzimy nową zmienną t przyjmując x=t i y=t, to otrzymamy funkcję złożoną zmiennej t. Ze wzoru (8) pochodna tej funkcji w punkcie t=0 byłaby równa

u;=uix;+u;y;=o.

Z drugiej jednak strony, jeśli rzeczywiście podstawimy wartości x i y do danej funkcji u=f(x, y), otrzymamy

t²t

u=-=—j=$1. t²+t²

Różniczkując teraz bezpośrednio względem /, będziemy mieli u',=ł dla dowolnej wartości t, a więc i dla t=0.

Okazuje się, że wzoru (8) w tym wypadku nie można stosować.

7) Zachowanie się funkcji m =/(*, y) określonej równościami

x^,l3y

f(x,y)=-_{t    2} (dla x²+y²>0),

x +y

/(0,0)=0,

będzie w punkcie (0, 0) zupełnie analogiczne. Biorąc x=y = t otrzymamy funkcję złożoną u=\t²ⁿ, która dla r=0 ma pochodną nieskończoną. Jeśli natomiast przyjąć x—t, a

y=t; sin —, dla /#0 i y=0 dla r=0.