332
V. Funkcje wielu zmiennych
Zwracamy uwagę, że oznaczenia Jacobiego na pochodne cząstkowe za pomocą d należy uważać wyłącznie za symbol jednolity, a nie za ilorazy lub ułamki. Otrzymana przed chwilą zależność ze szczególną jasnością podkreśla tę istotną różnicę w charakterze oznaczeń pochodnych zwyczajnych i pochodnych cząstkowych. Gdyby pochodne cząstkowe wypisane po lewej stronie były pochodnymi zwyczajnymi, to można byłoby rozpatrywać je jako ilorazy samych różniczek i po skróceniu otrzymalibyśmy 1, a nie —1. Tutaj, jak widać, takiego skrócenia wykonywać nie wolno.
Iloczyn pochodnej cząstkowej 6u/6x przez dowolny przyrost Ax nazywa się różniczką cząstkową funkcji u względem x\ oznacza się ją symbolem
du
dxu ——Ax. dx
Jeśli i tu przez różniczkę dx zmiennej niezależnej jc będziemy rozumieli przyrost Ax, to poprzedni wzór można napisać tak:
du
dxu =—dx. dx
Analogicznie
dyu = — dy, dtu = — dz.
Widzimy więc, że można byłoby również pochodne cząstkowe przedstawić w postaci ułamków
dxu dyu dzu
dx’ dy’ dz'
ale koniecznie pod warunkiem, że wskażemy, względem której zmiennej obliczamy różniczkę.
178. Przyrost zupełny funkcji. Jeśli wychodząc z wartości x=x0,y=y0, z=z0 zmiennych niezależnych nadać wszystkim trzem zmiennym pewne przyrosty Ax, Ay, Az, to funkcja u=f(x, y, z) dozna przyrostu
Au=Af(x0, y0, z0) =f(x0 +Ax,y0+Ay ,z0+Az)-f(x0, y0»zo)»
który nazywa się przyrostem zupełnym funkcji.
W przypadku funkcji jednej zmiennej y=f (*), przy założeniu istnienia w punkcie x0 pochodnej skończonej f\x0), dla przyrostu funkcji zachodzi wzór [96 (2)]:
A y = Af{x0) =f’(x0) Ax + aAx,
gdzie a zależy od Ax i a-»0 przy Ax~*0.
Chcemy wyprowadzić analogiczny wzór dla przyrostu funkcji u—f(x, y, z):
(1) Au=Af(x0, y0, z0)=
=fx (*o, y0 > zo) +fy(x0 ,y0,z0)Ay +fj(x0 ,y0,z0)Az+ctAx+pAy+yAz,