0331

332

V. Funkcje wielu zmiennych

Zwracamy uwagę, że oznaczenia Jacobiego na pochodne cząstkowe za pomocą d należy uważać wyłącznie za symbol jednolity, a nie za ilorazy lub ułamki. Otrzymana przed chwilą zależność ze szczególną jasnością podkreśla tę istotną różnicę w charakterze oznaczeń pochodnych zwyczajnych i pochodnych cząstkowych. Gdyby pochodne cząstkowe wypisane po lewej stronie były pochodnymi zwyczajnymi, to można byłoby rozpatrywać je jako ilorazy samych różniczek i po skróceniu otrzymalibyśmy 1, a nie —1. Tutaj, jak widać, takiego skrócenia wykonywać nie wolno.

Iloczyn pochodnej cząstkowej 6u/6x przez dowolny przyrost Ax nazywa się różniczką cząstkową funkcji u względem x\ oznacza się ją symbolem

du

d_xu ——Ax. dx

Jeśli i tu przez różniczkę dx zmiennej niezależnej jc będziemy rozumieli przyrost Ax, to poprzedni wzór można napisać tak:

du

d_xu =—dx. dx

Analogicznie

du    du

d_yu = — dy,    d_tu = — dz.

dy    5z

Widzimy więc, że można byłoby również pochodne cząstkowe przedstawić w postaci ułamków

d_xu    d_yu    d_zu

dx’    dy’    dz'

ale koniecznie pod warunkiem, że wskażemy, względem której zmiennej obliczamy różniczkę.

178. Przyrost zupełny funkcji. Jeśli wychodząc z wartości x=x₀,y=y₀, z=z₀ zmiennych niezależnych nadać wszystkim trzem zmiennym pewne przyrosty Ax, Ay, Az, to funkcja u=f(x, y, z) dozna przyrostu

Au=Af(x₀, y₀, z₀) =f(x₀ +Ax,y₀+Ay ,z₀+Az)-f(x₀, y₀»^zo)»

który nazywa się przyrostem zupełnym funkcji.

W przypadku funkcji jednej zmiennej y=f (*), przy założeniu istnienia w punkcie x₀ pochodnej skończonej f\x₀), dla przyrostu funkcji zachodzi wzór [96 (2)]:

A y = Af{x₀) =f’(x₀) Ax + aAx,

gdzie a zależy od Ax i a-»0 przy Ax~*0.

Chcemy wyprowadzić analogiczny wzór dla przyrostu funkcji u—f(x, y, z):

(1) Au=Af(x₀, y₀, z₀)=

=fx (*o, y₀ > ^zo)    +fy(x₀ ,y₀,z₀)Ay +fj(x₀ ,y₀,z₀)Az+ctAx+pAy+yAz,