0383

384

V. Funkcje wielu zmiennych

punktach. Wykażemy, że wartość u w punkcie stacjonarnym M₀ jest mniejsza niż w pozostałych punktach, a więc najmniejsza. Istotnie, z twierdzenia kosinusów

{Mi M₂)²=(M₀Mi)² + (M₀ M₂ f + M₀ Mi • M₀ Mi> (M₀ M₂ +± M₀ Mi )² ,

tak że

Mi M₂> Mo Mi +|M₀ Mi .

Analogicznie Dodając otrzymujemy

Mi M₃>M₀M₃+^M₀Mi .

Mi Mi +Mi M₃> M₀ Mi +M₀M₂ + M₀ M₃ , zatem

u(Mi)>,i(M₀).

Oczywiście, punkt M_t można tu zastąpić przez M₂ lub M₃, tym samym dowód jest zakończony.

Inaczej jest w przypadku, gdy jeden z kątów trójkąta MiM₂M₃ jest równy lub większy od yir. Wówczas stacjonarnego punktu w ogóle nie ma i najmniejszą wartość funkcja u osiąga w jednym z danych punktów Mi, M₂, M₃ — mianowicie w tym punkcie, który jest wierzchołkiem kąta rozwartego.

Interesującą osobliwością tego zadania jest to, że w nim trzeba się zajmować nie tylko punktami stacjonarnymi, lecz także punktami, w których pochodne nie istnieją (porównaj ustęp 19G, uwaga II).

7) Uogólnimy zadanie 1). Będziemy szukali (n : l)-kąta o największym polu P, wpisanego w dane kolo o promieniu R.

Oznaczmy przez Xi, x₂, x_ni x„_+i kąty środkowe oparte o boki wielokąta, wówczas

skąd

Pole P jest równe

xi+x₂ + ...+x„+x„ ₊ i=2n , jf„ _{+ 1}=2it-(x,+X2 + ...+A-„). F=~7?²sinxi+j/{²sinA:2 + ...-t-j/J²sinA„ f j/?²sinx„_fI .

Jeżeli podstawimy zamiast x„₊₁ obliczone wyżej wyrażenie, to zagadnienie sprowadzi się do znalezienia największej wartości funkcji

«=sinxi +sinx₂ +... +sinx„ + sin [2n—{x_s -rx₂ +... +*„)],

przy czym obszar zmienności @ zmiennych niezależnych x₂, x₂,, x„ określony jest nierównościami

Xi>0,    x₂>0,    ... ,    x„>0, Xi +x₂ + ... 4-x„<27t,

tj. przedstawia n-wymiarowy sympleks [162].

Zgodnie z ogólną regułą obliczamy pochodne i przyrównujemy je do zera

cos*! — cos(*! +x₂ + ... +x„) = 0 , cos x„— cos(*! +x₂ +... +*„)—0 .

Jedynym wewnętrznym punktem obszaru, w którym spełnione są te równania jest

2n I    2it \

x_l—X2 = ...*=x_H=- (wówczas także x„ + i =-I-

n + 1    \    M + l/

27t

Odpowiada temu punktowi wartość u = (n + l)sin----•

n +1

Aby wykazać, że jest to rzeczywiście największa wartość u, posłużmy się metodą indukcji matematycznej. Dla n = 2 zostało to już wykazane w przykładzie 1) z poprzedniego ustępu. Załóżmy, że jest