0377

378

V. Funkcje wielu zmiennych

Trzeba zatem porównać wartości funkcji

«=0,    i(ó-c)²,    i(fl-c)²,    i(a-ó)².

Najmniejszą z nich jest 0, największą i(a—c)². Są to właśnie szukane wartości funkcji — najmniejsza i największa. Funkcja osiąga odpowiednio wartość najmniejszą w punktach

(0,0, ±1), (0, ±1,0), (±1,0,0),

a największą w punktach

Na ogół w przypadku funkcji dwóch zmiennych u=f(x,y) obszar jest zazwyczaj ograniczony krzywą lub kilkoma krzywymi. Wzdłuż tej krzywej — jeżeli jest ich więcej, to wzdłuż każdej z nich — albo jedna ze zmiennych x, y zależy od drugiej, albo obie zależą od jednego parametru. Tym samym na brzegu funkcja u=f(x,y) staje się funkcją jednej zmiennej i jej największą (najmniejszą) wartość znajduje się już metodami z ustępu 139. Jeżeli na przykład krzywa określona jest równaniami parametrycznymi

x=<p(t),    y=v(t),

gdzie t przebiega przedział </₀, T>, to na tej krzywej funkcja badana będzie funkcją złożoną zmiennej t:

«=/(?(0, r(0),

której największą (najmniejszą) wartość potrafimy już znaleźć.

3) Znaleźć największą wartość iloczynu

u—xyzt

nieujemnych liczb x, y, z, t, których suma ma stałą wartość

x+y + z+t=4c.

Wykażemy, że największą wartość u otrzymuje się, gdy wszystkie czynniki są równe: x=y=z= = t = cC).

Wyznaczamy t z danego warunku, t—4c—x—y—z, i podstawiamy do u otrzymane wyrażenie; otrzymujemy

u=xyz(4c—x—y—z).

Mamy teraz funkcję trzech niezależnych zmiennych x,y, z w trójwymiarowym obszarze, określonym nierównościami

x>0,    y>0, z> 0,    x+y+z<4c.

Geometrycznie rzecz biorąc obszar ten jest czworościanem ograniczonym płaszczyznami x=0, y=0, z=0, x+y+z=4c.

Obliczmy pochodne i przyrównajmy je do zera du    du

— =yz(4c—2x—y—z)=0 ,    —=zx(4c—x—2y—z)=Q ,

ox    ay

du

— =xy(4c—x—y—2z)=0. oz

(‘) Rozpatrujemy iloczyn czterech czynników jedynie dla uproszczenia. Rezultat jest taki sam dla dowolnej liczby czynników.