10 (43)

194

9. Funkcje wielu zmiennych

Zauważmy, że mamy ASP A - A, ponieważ PA = A i zachodzi (68), zatem (69) pociąga (7Ó)^    '    ¹ WĘĘ5 PF(x)'⁵ ‘(xel): *

W szczególności dla x e [/ zachodzi (70). Jeżeli x zastąpimy H(x), to otrzymamy

(71)    ■ ....... ""    ~ PF(H(xj)« Ax ' (x s V). "^i: J

< Określmy

(72)    ■    ’■    V,(xif= F(H(x))-Ax (xe>). ’

Ponieważ PA H .4, więc (71) wynika, że Pi[r(x) = 0 dla wszystkich x e V. Zateni \j/ jest odwzorowaniem klasy W z Fdo SfjpfP

Ż otwartości F wynika, że A(F) jest też otwartym podzbiorem obrazu Śi(A) ~ 'kjU'" Dla zakończenia dowodu, tj. przejścia od (72) do (66), wystarczy nam pokazać, że istniej^ odwzorowanie <p klasyokreślone na A(V) i o wartościach w Y₂ spełniające

w t^xeV)-

W tym celu pokażemy najpierw, że dla x_t eV,x₂ e Ftakich, że Ax₁'=' Ax₂ mamy

(74)    t(xĄ~ ij/(x₂). ,

Niech <P(x) = F(H(x)) dla x e V. Ponieważ wymiar H'(x) wynosi n dla każdego x e Foraz? wymiar F'(x) wynosi r dla każdego x e t/,: więc zachodzi równość

(75)    wymiar <F(x) = wymiar F⁷(1łf\x))H'(x) » r *(xć PJp*

Ustalmy ą^F^kniech M będzie obrazem #'.(x). Wtedy M ę. R^mrómM    tu|j

mócy (71)

(76)    Ś    P<F(x)^A; *

Wobec tego P odwzorowuje M na M(A) = Jj. Ponieważ Mi ł* mają ten sam wymiar, więc odwzorowanie P (ograniczone do M) jest 1:1.

Przypuśćmy teraz, że Ah = 0. Wtedy P<F(x)h - 0 na mocy (76). Ale 4>'(x)h e M, a P jest wzajemnie jednoznaczne na M, a Więc musi być #'(x)h m 0. Porównując Id #(7t) widzimy, że wykazaliśmy: ^:J

* Jeżeli xe ViAh = 0, to ^'(x)h = 0.

Możemy już teraz udowodnić (74). Przypuśćmy, że dla x₂ e V, x₂ e Fzachodzi Ax₂ — Ax₂, Niech h = x₂—Xj i Określmy

(77)    m

Dzięki wypukłości K x_t+rh s Fdla tych właśnie t. Zatem

(78)    g'(r)=^(x₁ + th)h = 0    (0<r<l)

i wobec tego g(l) m g(0). Ale g(l) = ^(x₂), a g(0) = ^(x_t). Dowodzi to (74).

Na mocy (74), ^(x) zależy tylko od Ax dla x e V. Wobec tego (73) określa poprawnie <p na A(V). Pozostaje wykazać, że <p jest klasy    na A(V).