10 (25)

176

9. Funkcje wielu zmiennych

a więc

(p.._;(«-p)\x\<\Bx\ (x s R^H).

Ponieważ a-/? > 0, (1) pokazuje, że B\ / 0,jeśli x # 0,a więc, że Bjest 1: l.'Na mocy twierdzenia 9.5 B e (2. Zachodzi to dla każdego B, przy którym \\B—A\\.-< ot. Otrzymujemy więc, że 12 jest zbiorem otwartym.

Zastępując w nierówności (1) * przez B~^ly, otrzymujemy

_s (a-/?)|Briy| ^IBB^yj = |y|, I

awięcj|£~%< (a--/?)'¹. Równość B~¹—A~¹ = B~^l(A—B)A~\ t twierdzenie 9.7 c) pociągają za sobą

gj ,    "    ; _t «(<*-$ ,

i tym samym twierdzenie o ciągłości jest dowiedzione, ponieważ jeśli B-+ A.

9.9. MAaERZE. Załóżmy, że {x!,...,x_B} i {yi,,~, y_m} są odpowiednio bazami w przestrzeniach X i Y. Wtedy każde przekształcenie AeL(X, Y) określa zbiór liczb a_tJ takich, że _v

<3)    ^;    Axj - T Oifft < j; =s£ «).

j=i

Wygodnie jest wyobrazić sobie, że liczby te ustawione są w prostokątną tablicę, liczącą ąt wierszy i n kolumn:

		a»2 •	•• *i<T
łXJ =	*21		.. a2n
	«»i	Q-m2 %	■ flmn

Zauważmy, że współrzędne a_tj wektora Axj (względem bazy (y„..., y_m}) znajdują się w j-tej kolumnie macierzy A. Wektory Axj nazywamy często wektorami kolumnowymi macierzy [/!]. Używając tej terminologii można powiedzieć, że zbiór wartości przekształcenia A jest rozpięty* na wektorach kolumnowych macierzy A.

Jeśli x = ^_tc_jXj, to na mocy liniowości A i równości (1), mamy

m n

(4)    Ax = E(E

Zatem f-ta współrzędna wektora ^4xjest równa    Zauważmy, że w (3) sumujemy po

i

pierwszym wskaźniki elementu a_{j, podczas gdy obliczając współrzędne sumujemy po drugim wskaźniku.

Przypuśćmy teraz, że dana jest macierz o m wierszach i n kolumnach, której elementy a_i} są liczbami rzeczywistymi. Jeśli przekształcenie ,4 jest zdefiniowane wzorem (4), to oczywiście A e LjX, Y) i [-4] jest macierzą wyjściową. Zachodzi zatem naturalna wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między L(X, Y) r zbiorem wszystkich macierzy rzeczywistych o w wierszach i n kolumnach. Należy jednak podkreślić; że [X] zależy nie tylko od A, ale także od