10 (31)

182

9. Funkcje widu zmiennych

Dowód. Ustalmyj. Ponieważ f jest różniczkowalne w x, więc f(x4-tej)—f(x) = f'(x)(rtj)+r(fej),

gdzie |r(te,-)|/r-+0 przy t->0. Ponieważ f'(x) jest funkcją liniową, więc

(28)

t-*o    t

Jeżeli zapiszemy teraz f za pomocą jej Składowych jak w (24) to (28) przyjmie postać: (29)

Z postaci ostatniej równości wynika, że każdy iloraz różnicowy występujący pod znakiem sumy posiada granicę, a więc, że istnieją pochodne cząstkowe (Djf) (x), a w konsekwencji (27) wynika z (29).

Oto niektóre konsekwencje twierdzenia 9.17:

Niech [f'(x)] będzie macierzą odpowiadającą przy wyborze standardowych baz operacji liniowej f'(x), jak w paragrafie 9.9. Wtedy f'(x)e₇ jest j-tym wektorem kolumnowym [f'(x)], i z (27) wynika, że liczba (Z),/) (x) jest wyrazem macierzy [f'(x)] stojącym w i-tym wierszu i y-tej kolumnie. Zatem

Ef'(x)] =

(Z>i/i)(x) ... (DJJ (x) ]i>i/J(x) ...

Jeżeli h = £/i;Cy jest jakimś wektorem z Rⁿ, to z (27) otrzymujemy (3°)    f'(x)h = f { Ż {Djfd (x)hy} u,-.

i=l J= 1

9.18. PRZYKŁAD. Niech y będzie odwzorowaniem różniczko walnym odcinka (a, b) c R¹ W otwarty podzbiór E c Rⁿ, czyli y jest krzywą różniczkowalną w E. Niech f będzie różniczkowalną funkcją rzeczywistą określoną na E. Określmy

(31)    g(t) = f(y(ł)) (a < t < b).

Wzór na różniczkowanie superpozycji odwzorowań daje nam

(32)    g'(t) = f'{y(t))y'(t) (a < t < b).

Ponieważ y'(t) e L(R^l, R") i/'(y(f)) e lĄR", R¹), więc wzór (32) określa g'(t) jako operację liniową na R¹. Jest to w zgodzie z faktem, że g odwzorowuje (a,b)wR^l. Jednocześnie możemy traktować ^'(t)jako liczbę rzeczywistą (dyskutowaliśmy tę sprawę w paragrafie 9.10). Pokażemy teraz jak obliczyć tę liczbę w terminach pochodnych cząstkowych / oraz pochodnych składowych y.

Względem standardowej bazy {en-.., e„} przestrzeni R" [y'(t)] jest macierzą «xl („macierzą-kolumną”) mającą yj(t) w i-tym wierszu, gdzie y_1;..., y„ są składowymi y. Dla każdego x e £, [/'(x)j jest macierzą o jednym wierszu i n kolumnach, „macierzą-wierszem” —