313 2

313

7.7. Funkcje widu zmiennych

gdzie

. /a² a²y ^ ^{r =}(l?⁺a7j ⁼^‘

20* a⁴

dx²dyⁱ⁺dyⁱ

ńla bardziej złożonych wyrażeń różniczkowych często buduje się łatwo przybliżenia z błędem 0(A*)- ^Na P^rz>^rkład <^zob- (&-⁴-⁹) ‘ (&.4.10)) mamy

(7.7.9)

a / a_u\    .

/(X. y)fl<x, y) —J =*Iu)-rO(h²l

(i podobnie dla pochodnych względem .x), gdzie operator różnicowy « wyraża się wzorem

k²n(u),j =fjj[0ij+i/2(^uu-ri ~^uij)—9i,/- i.u(^{— u}i./ -1)] •

Podane wyżej wzory mają w-ażne zastosowania w rozwiązywaniu numerycznym równań różniczkowych cząstkowych.

Q—Q—Q

O

O

0-(t)--0

£^7|

Rys. 7.7.4

7“// u(x.y] Rys. 7.7.5

Rozważmy całkę podwójną w prostokącie (rys. 7.7.5). Niech będzie x₀ = c. k=(b—a)iM, >0=0, * = (rf— c)/iV, tty = w(jCi,>y). Można wicdy posługiwać się następującymi wzorami, które uogólniają odpowiednio wzór prostokątów i wzór trapezów':

U .V

Jzzhk V V «-U-t

(7-7.10)

(7 7.11)

gdzie k'_ij==i dla wewnętrznych punktów siatki, czyli dla 0<ł<M i 0<j<N,    = \ dla

dok*- '^fzchoHców i w,_mJ=4 dla pozostałych punktów brzegowych. Oba wzory są fi_{i fi} ^ dla funkcji dwułiniowych, a błąd można rozwinąć względem parzystych potęg ’⁰⁰ Powala stosować ekstrapolację i terowaną Richardsona.

Y i(^M«- i.j-1 + ^ui-ij + ^uij-1 +Wy)^s

M N

Y Y^wU^vtL-

l=0j=0