0359

360

V. Funkcje wielu zmiennych

gdzie u._x + a.₂ + ...+a.„=k\ jeśli zaś u jest funkcją x, y, ..., z, to będziemy pisali

8^ku

dx^ady^l>...dz^y ’

gdzie a+P+ ... + y=k Niektóre „wykładniki” a_l,a₂, ■■■,<¹„ lub a,fi,...,y mogą być zerami; obecność różniczki o „wykładniku” 0 oznacza w rzeczywistości, że nie różniczkujemy względem odpowiedniej zmiennej.

192. Pochodne wyższych rzędów funkcji złożonej. Niech będzie dana funkcja

«=/01.

gdzie x_itx₂, ...,x_n są z kolei funkcjami

x_i=<P_i(t₁,t₂.....t_m) 0 = 1,2, ...,ń)

zmiennych 0, t₂, .... t_m.

O funkcjach / i zakładamy, że mają one ciągłe pochodne do rzędu k włącznie względem wszystkich zmiennych. Rozpatrując u jako funkcję złożoną zmiennych t_x, t₂,..., t_m:

u = F(t_y, t₂, •    tJ=/Oi, ę₂,.... 9n),

udowodnimy, że funkcja złożona ma również wszystkie pochodne do rzędu k włącznie i że pochodne te są ciągłe.

Ściślej mówiąc udowodnimy następujące twierdzenie:

Każda pochodna rzędu k funkcji F istnieje i da się wyrazić za pomocą dodawania i mnożenia przez pochodne rzędu nie wyższego od k funkcjif względem jej argumentów x_l,x₂, ..., x_n i funkcji względem argumentów t_x, t₂,..., t_m.

Dowód przeprowadzimy metodą indukcji matematycznej. Dla k=1 twierdzenie jest słuszne, wynika ono z wyprowadzonego wcześniej wzoru na pochodną funkcji złożonej [181].

Załóżmy, że twierdzenie jest słuszne dla pochodnych wszystkich rzędów niższych niż k; wykażemy, że jest ono słuszne również dla pochodnych rzędu k. Każda pochodna rzędu k może być otrzymana z pewnej pochodnej rzędu k — 1 przez różniczkowanie względem jednej ze zmiennych tj. Weźmy pochodną rzędu k— 1. Zgodnie z założeniem jest ona otrzymana z pochodnych funkcji / względem x i względem t rzędu nie wyższego niż k— 1 przez mnożenie i dodawanie, tzn. jest sumą iloczynów wspomnianych pochodnych. Różniczkując względem tj dowolny z tych iloczynów, musimy różniczkować kolejno każdy czynnik. Jeśli ten czynnik jest pochodną rzędu nie wyższego niż k— 1 jednej z funkcji 9, to po różniczkowaniu otrzymamy pochodną tej samej funkcji rzędu nie wyższego niż k. Jeśli zaś będzie to pochodna rzędu nie wyższego niż k— 1 funkcji f to rozpatrując tę pochodną jako funkcję złożoną zmiennych t i różniczkując ją względem t_jf zastąpimy ją przez znaną sumę iloczynów^).

1

Właśnie założenie o ciągłości wszystkich pochodnych funkcji / gwarantuje nam prawo korzystania ze znanej już reguły obliczania pochodnych funkcji złożonej [181].